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Analogie Kalmanfilter/ Beobachter |
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Verfasst am: 22.04.2015, 17:03
Titel: Analogie Kalmanfilter/ Beobachter
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Guten Tag.
Ich habe einpaar allgemeine, grundsätzliche Fragen zum Verständnis (und der Arbeitsweise) des bekannten Kalmanfilters.
Zunächst:
Ich habe ein dynamisches System, welches in folgender diskreter Zustandsraumdarstellung vorliegt: (k: Iterations-Stufe)
x_k+1 = A*x_k + B*u_k + v_k
y_k = C*x_k + D*u_k + w_k
(v_k ist das Systemrauschen (Modellunsicherheit) und w_k ist das Messrauschen)
Zum Verständnis des Kalmanfilters: (Bitte korrigieren, wenn etwas Falsch ist!)
Der Kalmanfilter ist im Grunde genommen ein optimaler Beobachter (Q/R-Regler - mit quadratischem Gütefunktional), welcher die beiden stohastischen Rauschterme v_k,w_k berücksichtigt.
Entsprechend lässt sich die Berechnung/Herleitung der optimalen "Lünberger-Verstärkung" (/der Beobachterverstärkung) beim Kalmanfilter nicht mithilfe der Variationsrechnung herleiten, da die hierzu notwendigen Integrale aufgrund der stohastischen Terme nich berechnet werden können.
Mithilfe einiger Annahmen (weißes Gausches Rauschen, etc.) berechnet man nach einigen Umformungsschritten aus einer Matrix-Riccatti-Gleichung die (optimale) Kalman-Verstärkung, die die (Co-)Varianz des Schätzfehlers, P, minimiert.
(Quadratisches Gütefunktional = (Co-)Varianz des Schätzfehlers: P = E(e*e), mit e = x_wahr - x_schätz, E(): Erwartungswert)
__________________________________________________________
Nun kommen wir zu meinen Fragen:
# 1. Analogie zwischen Beobachter und Kalmanfilter:
- COV(v) entspricht doch formal der Gewichtungsmatrix Q des Q/R-Reglers (optimaler Beobachter) und COV(w) der Gewichtungsmatrix R oder irre ich? (Cov(): Covarianz-Matrix)
Wenn ich also entsprechend ein hohes Systemrauschen annehme (COV(v) groß), wird mein Kalmanfilter tendentiel eine bessere, bzw. eine schnellere Konvergenz des Schätzfehlers aufweisen. Wenn ich hingegen das Messrauschen erhöhe (COV(w) groß), wird die "Dynamik" des Kalmanfilters verringert (langsamere Kompensation von Schätzfehlern).
Ist dies soweit korrekt? Jedenfalls ergibt sich dies bei Betrachtung der Berechnungsvorschrift für die Kalmanverstärkung. (siehe #2.)
- Sind die beiden Matrizen COV(v) und COV(w) während der Filterlaufzeit konstant oder wird deren Wert an die Schätzung angepasst? Die Matrizen sollten doch Konstante (COV_v, COV_w) darstellen, da sie im Grunde einer Gewichtung der Komponenten im Gütefunktional entsprechen.
- COV_v und COV_w sind beim Kalmanfilter immer Diagonalmatrizen und können (prinzipiell) "frei" gewählt werden, entsprechend der gewünschten Filter-Dynamik. Ist dies korrekt?
___
# 2. Filterimplementierung:
allgemein ist der Filteralgorithmus schnell niedergeschrieben: (Bitte um Korrektur, falls fehlerhaft!)
a) Prädiktion des Zustands und des Gütefunktionals: (ohne Berücksichtigung der Messung)
x_p_k+1 = A*x_k + B*u_k;
P_p_k+1 = A*P_k*A' + COV_v;
b) Schätzkorrektur: (aufgrund der Berücksichtigung der Messung)
- Beobachter-/Kalmanverstärkung: (Analogie zur Lünberg-Verstärkung)
K = P_p_k+1*C'/(C*P_p_k+1*C' + COV_w)
- Schätzung der Ausgangsgröße: (y_k ist das Messsignal)
y_p_k = C*x_p_k+1 + D*u_k
- Berechnung der "Innovation":
innov_k = y_k - y_p_k
- Korrigierte Schätzung und Güterfunktional: (I ist Einheitsmatrix)
x_k+1 = x_p_k+1 + K*(innov_k)
P_k+1 = P_p_k+1*(I - K*C)
Korrigierte Schätzung der Ausgangsgröße: (falls benötigt)
y_k = C*x_k+1 + D*u_k
Fragen hierzu:
- In den Zustandsvektor (Schätzgröße) kommen doch alle differentiellen Größen der Modellgleichungen. Seine Komponenten sind demnach die Zustände des Systems.
In die Ausgangsgleichungen kommen lediglich alle MESSBAREN Zustandsgrößen. Dies bedeutet, dass Matrix C an der entsprechenden Stelle einen Nulleintrag enthält.
z.B.: x = [x_1;x_2]
Zustand x_1 wird gemessen und Zustand x_2 soll geschätzt (beobachtet werden).
Also ist C' = [1 0].
- D.h. die Ausgangsmatrix C enthält immer einen Nulleintrag für die zu schätzende Größe. Ist dies soweit korrekt?
- Die beiden stohastischen Rauschterme v_k und w_k wedrden doch durch die beiden Covarianz-Matrizen COV_v und COV_w bereits implizit berücksichtigt oder nicht?
Müssen daher die beiden Messignale u_k und y_k bei einer validierung des Filters zusätzlich noch mit einem (gaußschen) Rauschen beaufschlagt werden oder ist dies durch die Berücksichtignung ihrer Covarianz-Matrizen nicht nötig mehr nötig?
Ich bedanke mich herzlich für alle Antworten und Anregungen!
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