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Backward Euler HILFE
 

TH

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     Beitrag Verfasst am: 03.01.2011, 15:51     Titel: Backward Euler HILFE
  Antworten mit Zitat      
HILFE,

ich muss dringend noch den Backward Euler Implementieren.
Foward passt:

Code:

%% Euler Cauchy forward
% Datum 2.1.11
% Example: y(x)'=(3-y(x))/4
% Input:= euler_cauchy(H,N)
% H:= step size
% N:= number of steps
%%
function euler_cauchy(H,N)

x_null=0;
y_null=0;                                                                  %initial conditions
                                                 
y=y_null;

X=zeros(N+1);
Y=zeros(N+1);
dy=zeros(N+1);

X(1)=x_null;
Y(1)=y_null;


for k=1:N
   
   
   
    x=x_null+k*H;
    X(k+1)=x;
   
    dy(k)=H*((3-y)/4);
    y=y+dy(k);
    Y(k+1)=y;
end
   
% Exact solution

xend=H*(N+1);
xex=0:0.1:xend;
yex=3*(1-exp(-xex/4));

% plotting results
plot (xex,yex,'k','LineWidth',2);
title ('Euler-Cauchy')
xlabel('x');
ylabel('y(x)')
grid on, hold on
plot (X,Y,'or','LineWidth',1.6)                                            % red circles
plot(X,Y,'b','LineWidth',1.6)
legend('Exact solution','Euler-Cauchy',4);
text(10,2,sprintf('%s%.2f\n','Step size =',H));

end
 

ABER Backward nicht, der sollte ja unabhängig von der Schrittweite sein, schwingt aber trotzdem:

Code:


function  euler_cauchy_backward(H,N,initguess)
% Datum 2.1.11
% Example: y(x)'=(3-y(x))/4
% Input:= euler_cauchy(H,N)
% H:= step size
% N:= number of steps
% initguess= intitial guess

close all

x_null=0;
y_null=0;
y=y_null;


X=zeros(N+1);
Y=zeros(N+1);
dy=zeros(N+1);

X(1)=x_null;
Y(1)=y_null;

dy(1)=initguess;
 

  for k = 2 : N
     
        x=x_null+k*H;
        X(k+1)=x;

        dy(k)=H*((3-y)/4);
        y=y+dy(k-1);
        Y(k+1)=y;  

  end


% Exact solution

xend=H*(N+1);
xex=0:0.1:xend;
yex=3*(1-exp(-xex/4));

% plotting results
plot (xex,yex,'k','LineWidth',2);
title ('Euler-Cauchy')
xlabel('x');
ylabel('y(x)')
grid on, hold on
plot (X,Y,'or','LineWidth',1.6)                                            % red circles
plot(X,Y,'b','LineWidth',1.6)
legend('Exact solution','Euler-Cauchy',4);
text(10,2,sprintf('%s%.2f\n','Step size =',H));


end
 

Ich weiss die Implementierung ist falsch, wie muss es denn richtig sein???


TH

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     Beitrag Verfasst am: 03.01.2011, 15:54     Titel:
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Ich dachte ich nehm einfach den alten Wert und gut is... ne is falsch.
Zitat aus Wiki:
The backward Euler method is an implicit method, meaning that we have to solve an equation to find yn+1
Kann mir bitte jemand sagen wie es richtig implementiert ist?
 
TH

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     Beitrag Verfasst am: 03.01.2011, 19:55     Titel:
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Hi,

ich würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob das richtig implementiert ist:
Code:


function  euler_cauchy_backward(H,N)


% Datum 2.1.11
% Example: y(x)'=(3-y(x))/4
% Input:= euler_cauchy(H,N)
% H:= step size
% N:= number of steps


close all

x_null=0;
y_null=0;

X=zeros(N+1);
Y=zeros(N+1);

X(1)=x_null;
Y(1)=y_null;

f=@(y)((3-y)/4);

  for k = 1 : N

         X(k+1)=X(k)+H;
       
         ynext=Y(k)+H*(f(Y(k)));
         Y(k+1)=Y(k)+H*f(ynext);
  end
 


VIELEN DANK
 
Harald
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     Beitrag Verfasst am: 03.01.2011, 21:52     Titel:
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Hallo,

der Punkt am impliziten Euler ist, dass eine nichtlineare Gleichung gelöst werden muss.
y(tneu) = y(talt) + h*y'(tneu)

In deinem Fall
yneu = yalt + h*(3-yneu)/4

das muss dann nach yneu aufgelöst werden.

Das Problem (und damit der springende Punkt) ist, dass das normalerweise eine nichtlineare Gleichung ist und damit nicht explizit lösbar.

Grüße,
Harald
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TH

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     Beitrag Verfasst am: 03.01.2011, 22:00     Titel:
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Danke,

aber was heißt das dann für mich?
Ist es richtig? Oder wie kann ich es lösen?

Vielen Dank
 
Harald
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     Beitrag Verfasst am: 03.01.2011, 22:39     Titel:
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Hallo,

Für dich heißt das, dass deine Implementierung nicht korrekt ist (was dir ja schon klar war) und du da weitermachen musst, wo ich aufgehört habe.

yneu = yalt + h*(3-yneu)/4
yneu * (1+h/4) = yalt + 3/4*h

bzw. konkret für dich
Code:
Y(k+1) = (1/(1+H/4)) * (Y(k) + 3/4*H);


Grüße,
Harald
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TH

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     Beitrag Verfasst am: 03.01.2011, 22:59     Titel:
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Ne du, so klar war mir das nicht,
die Ergebnisse sahen "zunächst" gut aus. Waren aber nicht bei allen Werten gut. Jetzt gehts!!! DANKE
 
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