Überbestimmtes Gleichungssystem lösen

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Olivechkin

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Verfasst am: 11.05.2012, 13:01 Titel: Überbestimmtes Gleichungssystem lösen

Guten Tag,

ich möchte gerne eine überbestimmtes Gleichungssystem lösen, wie genau kann ich das mit Matlab machen?

Das Gleichungssystem sieht so aus:

$\begin{pmatrix} 2500 \\ 3500 \\ 5000 \\ 1000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C1111 & C1122 & 0 & 0 \\ C1122 & C2222 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C1111 & C1122 \\ 0 & 0 & C1122 & C2222\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} e11 \\ e22 \\ e11_2 \\ e22_2 \end{pmatrix}$

Das heißt ich habe 4 Gleichungen aber nur 3 Unbekannte in der Matrix ( die ganzen C's].

MaFam

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Verfasst am: 11.05.2012, 13:10 Titel:

Hallo,

zunächst musst du das auf die korrekte Form bringen, denn die Koeffizientenmatrix setzt sich aus den e's zusammen. Dann kannst entweder über die Pseudo-Inverse nach Moore-Penrose gehen oder aber eine QR-Zerlegung machen. Letzteres ist numerisch stabiler.

Grüße, MaFam

Olivechkin

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Verfasst am: 11.05.2012, 13:15 Titel:

Vielen Dank schon einmal für die schnelle Antwort!

Wie genau würde ich das denn programmieren?
Bin kein Profi in Matlab, deswegen weiß ich nicht genau was du damit meinst, dass ich es in die richtige Form bringen muss...

MaFam

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Verfasst am: 11.05.2012, 13:20 Titel:

Dann frag' ich lieber nochmal nach. Sind die C's die Unbekannten oder doch die e's. Was ist also gegeben, was nicht?

Harald

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Verfasst am: 11.05.2012, 14:00 Titel:

Hallo,

in Ergänzung zu den Kommentaren von MaFam:

Das lineare Gleichungssystem muss in die Form A*x = b umformuliert werden, mit gegebenem A und b und gesuchtem x. Dimensionen:
A: [m x n]
x: [n x 1]
b: [m x 1]
Also m Gleichungen mit n Unbekannten.

Danach braucht man nur noch

Code:

x = A\b

Funktion ohne Link?

Wenn ein Gleichungssystem überbestimmt ist, macht der Backslash-Algorithmus das von MaFam genannte automatisch.

Grüße,
Harald

Olivechkin

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Verfasst am: 11.05.2012, 14:30 Titel:

Die unbekannten sind die c's! Leider weiß ich immer noch nicht genau wie ich umformen soll, damit ich die matrixkoeffizienten berechnen kann...

MaFam

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Verfasst am: 11.05.2012, 14:42 Titel:

Per Hand, aber erstmal die Bezeichnungen vereinfachen:

$\begin{pmatrix} 2500 \\ 3500 \\ 5000 \\ 1000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C1 & C2 & 0 & 0 \\ C2 & C3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C1 & C2 \\ 0 & 0 & C2 & C3\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} e1 \\ e2 \\ e3 \\ e4\end{pmatrix}$

Das führt zu:

$ 2500=C1*e1+C2*e2 $

$ 3500 =C2*e1+C3*e2 $

$ 5000 =C1*e3+C2*e4 $

$ 1000 =C2*e3+C3*e4 $

Da aber C_i*e_i kommutativ ist, tauscht du und gehst das ganze rückwärts.

Und hier noch ein Link zum Zusammenhang von QR-Zerlegung und Normalengleichung. Aber wie Harald schon schrieb, beherrscht der Backslash-Operator das bereits, was aber nicht das "Geheimnis" dahinter offenbart.

http://www.peter-junglas.de/fh/vorl...../numa/html/app-herl4.html

Zuletzt bearbeitet von MaFam am 11.05.2012, 15:03, insgesamt 2-mal bearbeitet

MaFam

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Verfasst am: 11.05.2012, 14:52 Titel:

Ich hatte einen Fehler bei den C's im letzten Beitrag, das ist aber nun korrigiert. Ich erhalte dann für die Koeffizientenmatrix:

$ A=\begin{pmatrix} e1 & e2 & 0 \\ 0 & e1 & e2 \\ e3 & e4 & 0 \\ 0 & e3 & e4\end{pmatrix} $

Olivechkin

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Verfasst am: 21.05.2012, 14:24 Titel:

Ich habe das mit: C=e\s lösen können, das Problem ist, dass ich Ergebnisse sehr ungenau sind. Liegt das vielleicht an der Rechnung, oder daran, wie ich mein e und s bestimmt habe?

MaFam

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Verfasst am: 21.05.2012, 14:30 Titel:

Hallo,

was ist e, was ist s?

Grüße, Marc

Olivechkin

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Verfasst am: 21.05.2012, 14:55 Titel:

e wäre in den Fall A, als die Matrix mit e1,e2,e3 und e4 und s wäre b, das ist dann der Vektor den ich da stehen hatte s=[2500;3500;5000;1000]

MaFam

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Verfasst am: 21.05.2012, 15:10 Titel:

Da das Gleichungssystem überbestimmt ist, kann die Lösung nicht alle Gleichungen erfüllen. Das funktioniert hier anders. Es steckt ein Ausgleichsproblem dahinter. Die Lösung erfüllt eine Minimaleigenschaft, denn sie minimiert die Summe aller Fehlerquadrate.

Olivechkin

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Verfasst am: 21.05.2012, 15:21 Titel:

ok, das heißt der Fehler wird minimal, oder? Das bedeutet, dass die Ungenauigkeit nicht an der Rechnung selbst liegt, sondern an den Werten, die ich für e1 bis e4 auslese.

MaFam

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Verfasst am: 21.05.2012, 15:33 Titel:

Die Abweichungen liegen erstmal daran, dass das System überbestimmt ist. Natürlich spielen die Daten auch eine Rolle. Je größer diese gestreut sind, desto größer wird die mittlere Abweichung sein.


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