Bewegungsgleichung einer federnd gelagerten Welle

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Markus1308

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Verfasst am: 22.05.2016, 10:45 Titel: Bewegungsgleichung einer federnd gelagerten Welle

Hallo zusammen,

im Rahmen eines Hochschulprojekts untersuche ich eine Welle, welche federnd gelagert ist (siehe Skizze_1 im Anhang). Diese Welle befindet sich in einem Bauraum, ich nenne ihn mal Blackbox, der sich hier auf- und abbewegt (im Speziellen: Anregung z2). Die Welle kann einzig durch die Federn angeregt werden. Auch findet eine Bewegung durch den nicht mittig liegenden Schwerpunkt in z-Richtung und um den Lagerpunkt am linken Rand (siehe ebenfalls in Skizze_1).
In einer ersten Untersuchung möchte ich das allgemeine Schwingungsverhalten der Welle durch eine Sprunganregung untersuchen. Hierzu habe ich die Zustandsdarstellung gewählt mit dem Befehl ss.

Nun zu meinem Problem: Bei Anzeigen der Sprungantwort fällt auf, dass sich das System gar nicht bewegt. Ich habe nun schon gefühlt Tage damit verbracht hierfür einen Grund zu finden, komme aber nicht darauf. Ich weis, dass das Ganze hier relativ komplex ist. Gerade weis ich mir nur echt nicht mehr zu helfen und es ist einfach deprimierend, weil es nicht funktioniert. Deswegen würde ich mich einfach freuen, wenn jemand mal in einem ruhigen Moment drüber schauen und einen Kommentar dazu abgeben kann.

Ich füge eine Skizze des Systems, die Sprungantwort aus Matlab und einige meiner händischen Aufzeichnungen bei.

Der Programmcode lautet wie

Code:

% Welle: Zustandsdarstellung

clear
clc
close all

% System-Parameter (SI)

m = 0.025; % Wellenmasse

Jsp = 0.00157 %Trägheit um Drehachse y

c1 = 0.023 ; % Steifigkeiten
c2 = 0.023;
c3 = 0.03;
c4 = 0.03;

d1 = 0.025; %Dämpfungen
d2 = 0.025;
d3 = 0.01;
d4 = 0.01;

% Geometrische Größen in [m]

xsp = 0.028 ;
x1 = 0.006 ;
x3 = 0.034 ;
l34 = 0.006 ;
l12 = 0.022 ;

% Bestandteile der Differenzialgleichungen

% 1.BWG

a = d1+d2+d3+d4
b = c1+c2+c3+c4
c = (-(d1+d2)*(xsp-1)+(d3+d4)*(x3-xsp))
d = (-(c1+c2)*(xsp-x1)+(c3+c4)*(x3-xsp))
e = (-(c1+c2+c3+c4))
f = (-(d1+d2+d3+d4))

% 2.BWG

h = (-(d1+d2)*(xsp-x1)*l12-(d3+d4)*(x3-xsp)*l34)
i = (-(c1+c2)*(xsp-x1)*l12-(c3+c4)*(x3-xsp)*l34)
j = (d1+d2)*l12-(d3+d4)*l34
k = (c1+c2)*l12-(c3+c4)*l34
l = -(c1+c2)*l12+(c3+c4)*l34
n = (d1+d2)*l12-(d3+d4)*l34

% Systemmatrizen

M = [ m 0 ;...
0 Jsp ]

D = [ a c ;...
j h ]

C = [ b d ;...
k i ]

% Lastverteilungsvektoren

p1 = [ f ;...
n ] % Anregung durch Geschwindigkeit von z2
p2 = [ e;...
l ] % Anregung durch Auslenkung von z2

% Matritzen für System- und Ausgangsgleichung & Modellaufbau

A = [ zeros(2,2) eye(2,2) ;...
-inv(M)*C -inv(M)*D ]

B = [ zeros(2,1) zeros(2,1) ;...
inv(M)*p1 inv(M)*p2 ]

% Ca = [1 0 0 0 ;...
% 0 1 0 0 ] %Ausgangsgleichung mit z und phi

Ca = [1 -xsp 0 0 ;...
0 1 0 0 ] %Ausgangsgleichung mit za (Auslenkung des
%Lagers A)

Da = [ 0 0 ;...
0 0 ]

sys = ss(A,B,Ca,Da)

% Eigenwerte

ew = (eig(sys)/(2*pi)) %Eigenwerte des gedämpften Systems

% Analyse :

figure (1)
step(sys) %Betrachten eines Sprungs von Größe z2 ohne Geschwindigkeit von z2

Funktion ohne Link?

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Markus1308

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Verfasst am: 22.05.2016, 10:53 Titel:

Ich habe die Sprungantwort vergessen. Anbei auch gleich noch mein Ansatz.

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AKNOT

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Verfasst am: 23.05.2016, 06:57 Titel:

Hi,

also in dem Plot bewegt sich das System doch extrem...es ist nicht stabil. Nehme mal an, dass dort ein Fehler in den Gleichungen/Parametern steckt. Da ich nicht so der Mechanik-Pro bin, kann ich dir allerdings im Moment leider keinen Ansatz liefern wo.

Markus1308

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Verfasst am: 23.05.2016, 07:14 Titel:

Hallo,

ich habe vorhin auch mal das Ganze mittels Bode-Diagramm dargestellt. Hier wird auch deutlich, dass dort etwas passieren muss. Es treten Phänomene wie Resonanzfrequenzen und dergleichen auf.

Wie ist es aber möglich, dass ein Fehler in den Gleichungen bei zeitlicher Darstellung zu keinem Ausschlag führt, im Plot aber Werte angezeigt werden und dazu im Frequenzbereich Veränderungen vorhanden sind?

Ich habe es auch mal mit einem Sinus angeregt. Da ist ebenfalls nicht passiert.

AKNOT

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Verfasst am: 23.05.2016, 07:46 Titel:

Ich kann dir glaube gerade nicht ganz folgen. Sprungantwort.png ist doch die zeitliche Darstellung und die Ausschläge sind deutlich?

Markus1308

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Verfasst am: 23.05.2016, 07:54 Titel:

Dann verstehe ich das System vielleicht falsch. Meiner Meinung wird ein Sprung ab t=0 auf das System gegeben. Ab diesem Zeitpunkt müsste schon etwas passieren. Dem ist aber nicht so. Ich habe dieses starken Abfälle am Ende der Zeit eher als Zeichen dafür gesehen, dass das Programm mit meiner Gleichung nichts anfangen kann. So wie wenn man ein stehendes Pendel berechnet, das theoretisch stehen bleiben muss, vom Programm nach einer unbestimmten Zeit aber umgeworfen wird.

AKNOT

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Verfasst am: 23.05.2016, 08:03 Titel:

Hi,

schau mal auf die Skalierung der Ordinate. Dadurch siehst evtl. Bewegungen am Anfang in dem Ausschnitt nicht mehr. Ich behaupte aber, wenn du reinzoomen würdest, siehst du von Anfang an einen exponentiell steigenden Verlauf.

Wenn das System an sich instabil ist, so wie es ein inverses Pendel ist, dann wäre das je nach betrachtetem Zustand normal. Aber nach deiner Zeichnung würde ich als Systemreaktion auf ein "Anstupsen" schon eine abklingende Schwingung erwarten.

Sprich, dein System wäre instabil, obwohl es stabil sein sollte. Der eine Eigenwert ist ja auch positiv. Ergo stimmt vielleicht etwas mit den Systemgleichungen nicht. Im "einfachsten" Fall evtl. irgendwo ein Vorzeichenfehler.

Markus1308

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Verfasst am: 23.05.2016, 08:10 Titel:

Danke, das mit dem Fehler in der Gleichung könnte gut sein. Ich habe gerade auch den Verdacht, dass ich die Auslenkungen der Federn falsch bestimmt habe. Das werde ich jetzt überprüfen.

Beim Skalieren ist mir nämlich (leider) nichts aufgefallen.

AKNOT

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Verfasst am: 23.05.2016, 08:16 Titel:

Ich meinte die Skalierung der y-Achse in dem Sprungantwort-Plot. Die ist 10^25. Da überdecken die riesigen Endwerte natürlich alles, was vorher war. Habe gerade mal reingezoomt und dann sieht man, dass die Werte sofort von t=0 an beginnen sich zu bewegen.

Markus1308

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Verfasst am: 23.05.2016, 08:27 Titel:

Das habe ich auch verstanden, danke;)

Ich habe jetzt meine Gleichung neu aufgestellt und etwas in der Kinematik anders gemacht. Bei meiner Herleitung habe ich die Z-Koordinate vertikal nach oben positiv angenommen, allerdings in der Skizze diese negativ betrachtet, aber als positiv in meine Gleichung einbezogen. Lange Rede, kurzer Sinn. Es schwingt jetzt.
Ich hoffe nur so, dass es jetzt passt...

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Markus1308

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Verfasst am: 23.05.2016, 08:28 Titel:

Wobei erstaunlicherweise nur eine Größe eine Bewegung macht...

Markus1308

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Verfasst am: 23.05.2016, 08:31 Titel:

Das System ist jetzt auch stabil, bzw. reicht zumindest an Stabilitätsgrenze.
Der Realteil der Eigenwerte wird maximal 0

AKNOT

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Verfasst am: 23.05.2016, 08:51 Titel:

Welche physikalischen Größen sind denn die einzelnen Ausgänge? Vielleicht ergibt es ja Sinn.

Wenn du jetzt davon ausgehen kannst, dass deine Gleichungen korrekt sind, wäre noch die Frage nach den Parametern. Wo kommen die her? Hast du ein reales System? Messdaten, damit du weißt, wie es aussehen soll?

Markus1308

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Verfasst am: 23.05.2016, 11:07 Titel:

Die Größen, welche das System sind ein Weg (Anregung in in z-Richtung) und die Ableitung dieses Weges. Demnach würde das Ganze auch Sinn machen. Man hat hier quasi den Weg und die Geschwindigkeit der Anregung und als Ausgang die vertikale Auslenkung und Drehung der Welle (nicht um ihre Achse in Wellenmitte).

Da ich hier mit mit einem Sprung anrege, würde es Sinn machen, dass die Geschwindigkeit der Anregung nichts bewegt, da sie hierbei 0 ist.


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