DGL mit Integral

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horto

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Verfasst am: 26.04.2021, 11:55 Titel: DGL mit Integral

Ich bin ein Anfänger in Matlab. Ich brächte die (numerische) Lösung einer DGL dieser Form:

$ \frac{d\alpha}{dt} = a(\alpha,t)+b(\alpha)\int_0^t c(\alpha,\tau)d\tau $

Ich kenne die ode-Löser. Aber ich habe keine Ahnung, wie ich mit dem Integral umgehen muss. Kann mir jemand dabei helfen?

Thx

Harald

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Verfasst am: 26.04.2021, 12:50 Titel:

Hallo,

ich sehe zwei Möglichkeiten:
a) das Integral mit integral innerhalb der Funktion, die an ode45 übergeben wird, berechnen.
b) die DGL nochmal ableiten. Dann wird eine DGL zweiter Ordnung daraus, und das Integral verschwindet.

Meine Vermutung ist, dass b) effizienter und zudem genauer ist, da nicht in jeder Funktionsauswertung von neuem das Integral (numerisch) ausgewertet werden muss.

Grüße,
Harald
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horto

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Verfasst am: 26.04.2021, 15:46 Titel:

Danke

b) funktioniert leider nicht, weil \alpha auch von t abhängig ist. Dadurch muss ich bei der Ableitung des zweiten Summanden die Produktregel verwenden und da bleibt das Integral dann einmal stehen... Sad

Bei a) sehe ich auch das Problem, dass \alpha im Integral wieder von t abhängig ist. Die Funktion von alpha ist aber nicht bekannt (für \alpha wird ja die DGL aufgestellt). D.h. ich müsste innerhalb der ode immer alle Werte für \alpha von t=0 bis t haben. Die ode (z.B. ode45) die ich kenne, stellen mir das nicht zur Verfügung... Gibt es da spezelle Löser dafür? Und falls ja, wie sage ich integral , welchen Wert von cp es welchem Zeitinkrement zuordnen soll?

c(\alpha,t) sieht übrigens so aus:
$ \int_0^t \! c(\alpha,\tau) \, d\tau = \int_0^t \! (t-\tau)^2(1-\alpha(\tau)) \, d\tau $

Harald

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Verfasst am: 26.04.2021, 21:26 Titel:

Hallo,

ich sehe, ich habe das auf den ersten Blick unterschätzt.

Zitat:

Gibt es da spezelle Löser dafür?

Ich kann mich nicht an Gleichungen dieser besonderen Form erinnern. Wenn diese einen Namen haben, dann würde ich danach googeln.

Wenn dir nichts anderes einfällt und du nur mal eine Lösung brauchst, könntest du selbst einen Löser mit konstanter Schrittweite schreiben und den anwenden, und das Integral dann z.B. mit trapz berechnen. Die vorherigen Werte hast du ja dann.

Grüße,
Harald
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horto

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Verfasst am: 04.05.2021, 23:55 Titel:

Ich habe eine Lösung gefunden, ohne einen extra Löser dafür schreiben zu müssen:

Ich habe
$ \beta = \int_0^t \! (t-\tau)^2(1-\alpha(\tau)) \, dx $
eingeführt. beta kann ich dann ohne Probleme nach der Zeit ableiten (mittels der Leibnitz-Regel) und in der dritten Zeitableitung ist dann auch das Integral weg. Am Ende habe ich also ein System von vier DGL, die ich einfach mit ode45 löse.


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