Differenzenverfahren, Näherung von falscher Seite

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Crepes12

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Verfasst am: 10.09.2013, 15:48 Titel: Differenzenverfahren, Näherung von falscher Seite

Hey,

Ich versuche zur Zeit eine Aufgabe in der Mechanik zu lösen, halte das eigentliche Problem aber für eher mathematisch, also die Wahl dieses Unterforums. Falls in diesem Forum damit wirklich gar nichts angefangen werden kann, bitte ich um Verschiebung.

(Ich schreibe zum ersten Mal einen solchen Beitrag und hoffe dass die Formatierung akzeptabel ist)

Es geht um folgenden Stab

http://imageshack.us/a/img43/1830/hxir.jpg

Die Kraft F wirkt in Längsrichtung auf den Stab der in zwei Punkten gelagert ist. Obere Lager lässt Verschiebungen in senkrechter Richtung zu. Untere Lager lässt keine Verschiebungen zu. Beide Lassen Drehung zu. (Hieraus ergeben sich später genannte Randbedingungen, also nicht unbedngt nötig dieses Wissen.)
Bei einer kritischen Kraft fängt dieser Stab an zu knicken bzw. sich zu biegen. Qualitativer Verlauf des Stabes beim Knicken:

http://imageshack.us/a/img138/411/yotx.jpg

(Verschiebungen geplottet)

Diese geplottete Eigenform setzt vorraus, dass ich bereits grob die kritische Kraft ermittelt habe, dies ist nämlich nicht mein Problem.

Ebenfalls habe ich auf analytische Weise diese kritische Kraft berechnet. Die analytische Lösung fällt etwas kleiner aus, die "numerische" kritische Kraft nähert sich also in meiner Rechnung von oben an die analytische Lösung.

Hier ist auch das eigentliche Problem. Eigentlich sollte sich diese Kraft von unten an die analytische Lösung nähern. Die Steifigkeit Des Stabes fällt laut meinem Professor beim Differenzenverfahren weicher aus, es wird also eine niedrigere kritische Kraft benötigt. (War bisher in den Aufgaben aus dem Unterricht auch immer so.)

Ich komme hier nicht weiter und finde meinen Fehler nicht. Wäre schön, wenn mir hier jemand helfen könnte :/

Eingeteilt habe ich den Stab wie folgt:
http://imageshack.us/a/img834/9559/79xa.jpg
a1 als Anzahl der Knotenpunkte
Hier in dem Bild a1=7 völlig willkürlich bei der Zeichnung entstanden

Der Code:

Code:

a1=100 %Anzahl Stützstellen

d=0.00001 %Schrittweite Determinantensuche
%nicht zu verwechseln mit h=Länge/Stützstellen

M=cell(1);
for i=1:(a1+4) %+4 außerhalb liegende Stützstellen, anzahl gleichungen
M{i} = zeros(1,(a1+4));
end

k=1:1000; %wird mit jeweiligen Determinanten überschrieben

for t=1:1000 %es werden 1000 Determinanten berechnet

y1=t*d; %schreibe ich noch was zu

%Differenzenformeln
for j=3:(a1+2)
M{j-2}(j-2)=1;
M{j-2}(j-1)=(y1-4);
M{j-2}(j)=(6-2*y1);
M{j-2}(j+1)=(y1-4);
M{j-2}(j+2)=1;

end

%Randbedingungen, schreibe ich noch was zu

M{a1+1}(3)=1;
M{a1+2}(a1+2)=1;
M{a1+3}(2)=1;
M{a1+3}(3)=-2;
M{a1+3}(4)=1;
M{a1+4}(a1+1)=1;
M{a1+4}(a1+2)=-2;
M{a1+4}(a1+3)=1;

%überführen in Matrix
A=zeros((a1+4),(a1+4));

for j=1:(a1);
for i=(1:a1+4);
A(j,i)=M{j}(i);
end
end

for j=(a1+1):(a1+4)
for i=1:(a1+4)
A(j,i)=M{j}(i);
end
end

k(t)=det(A);

end

r=1:1000;

figure(1)
plot(r,k)

k

Funktion ohne Link?

letztendlich werden hier die Determinanten ausgegeben. Die Matrix A ist ist so zu verstehen, dass sie mit einem Komponentenvektor multipliziert wird, der die jeweiligen Verschiebungen enthält. Dies soll einen Nullvektor ergeben. Um dieses homogene Gleichungssystem zu lösen muss die Determinante gleich Null sein. Der erste Vorzeichenwechsel ist zwischen r=100 und r=101, bzw t=100 und t=101. Demnach ist ungefähr y1=t*d= 100*0.00001= 0.001

y1=F*h²/(EI) mit EI=210000 und h=1000m/a1=10 in diesem Fall

daraus ergibt sich eine Kritische Kraft von F=y1*EI/h²=2,1N

Analytische Lösung: F=pi²*EI/l²=2,07N

Die Randbedingungen lauten:
v_(3)=0
v_(a1+2)=0
EI*v''_(3)=0
EI*v''_(a1+3)=0
Die vierte soll zB bedeuten, dass die zweite Ableitung der Verschiebung in dem Knoten (a1+3) gleich Null ist.

aus der dritten ergibt sich v_(2)-2*v_(3)+v_(4)=0 (Differenzenformel, und bereits das EI und 1/h² "wegmultipliziert")

Wählen von kleinerem d verkleinert die Spannweite von angezeigten Determinanten. (diente mir zur Nullstellenfindung)

So, ich hoffe es ist einigermaßen verständlich. Ich würde mich sehr über Antworten freuen. Verständnisfragen beantworte ich ebenfalls gerne,

Andreas

Crepes12

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Verfasst am: 10.09.2013, 18:17 Titel:

Okay hat sich erledigt^^.. sehr viel Mühe mit diesem Beitrag umsonst gemacht.

Sehr dummer Fehler: Wenn auf einen Bereich zB 10 Knoten gelegt werden, wird die Schrittweite nicht durch Länge/10 berechnet, sondern natürlich mittels Länge/9.. Nun nähern sich die Lösungen von der richtigen Seite.


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