Doppeltes Integral

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lapricorn

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Verfasst am: 22.09.2016, 13:10 Titel: Doppeltes Integral

Hallo,

Es geht darum, das folgende Integral zu lösen:

y(z) = int(int(f(xi), xi=0..z-sigma)*h(sigma), sigma=0..z)

wobei f und h bekannte Funktionen sind. Ich habe folgenden Code der auch funktioniert:

Code:

clc
close all
clear

dz = 0.01;
z = 0:dz:1;
f = z.^2.*exp(-z);
h = sin(z);
G = zeros(length(z));
for m = 1:length(z)
for n = 1:length(z)
G(m,n) = dz*trapz(f(1:m-n+1));
end
end
y = zeros(size(z));
for n = 1:length(z)
y(n) = dz*trapz(G(n,1:n).*h(1:n));
end

y_ana = 1/2*(exp(z).*cos(z) - exp(z).*sin(z) - z.^2 + 4*exp(z) - 4*z - 5).*exp(-z);
plot(z,y,z,y_ana)

Funktion ohne Link?

Allerdings erscheint mir diese Lösung sehr unelegant. Gibt es vielleicht eine bessere (vermutlich mit integral2)?

Vielen Dank!

Harald

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Verfasst am: 22.09.2016, 13:42 Titel:

Hallo,

sehe ich auch so. Und eigentlich musst du dich nur an dem Beispiel mit der triangular region orientieren:

Code:

f = @(z) z.^2.*exp(-z);
h = @(z) sin(z);
dz = 0.01;
z = 0:dz:1;
y = zeros(size(z));
for I = 1:numel(z)
y(I) = integral2(@(xi, sigma) f(xi) .* h(sigma), 0, z(I), 0, @(xi) z(I)-xi);
end

Funktion ohne Link?

Grüße,
Harald

Zuletzt bearbeitet von Harald am 22.09.2016, 15:29, insgesamt einmal bearbeitet

lapricorn

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Verfasst am: 22.09.2016, 13:54 Titel:

Super, vielen Dank!

lapricorn

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Verfasst am: 22.09.2016, 15:05 Titel:

Code:

for I = 1:numel(z)
G = @(sigma) integral(f,0,z(I) - sigma);
intfun = @(z) G(z)*h(z);
y(I) = integral(intfun, 0, z(I),'ArrayValued',true);
end

Funktion ohne Link?

Das ist vielleicht auf den ersten Blick/für den Anfänger etwas einfacher (wenn auch umständlicher).
Allerdings ist mir unklar, warum 'ArrayValued',true benötigt wird und welche Auswirkung es in diesem Fall hat.

Harald

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Verfasst am: 22.09.2016, 15:28 Titel:

Hallo,

integral versucht, die zu integrierende Funktion aus Effizienzgründen mit Vektoren zu füttern und erwartet einen Vektor gleicher Größe zurück. Wenn die Funktion so nicht aufgerufen werden kann --> 'ArrayValued',true

Ich habe gerade gemerkt, dass ich es komplizierter als nötig gemacht hatte, und den vorherigen Beitrag entsprechend editiert.

Grüße,
Harald

lapricorn

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Verfasst am: 22.09.2016, 15:44 Titel:

Das habe ich mir gedacht, war aber etwas verwundert, warum dann aber kein Vektor am Ende rauskommt (siehe Beispiel in der Dokumentation).

Danke, so ist es sehr einfach, einleuchtend und sauber.

Jetzt möchte ich das ganze für die Dimension 2x1 für y implementieren: D.h.:

y(z) = int([1 0; 0 1]*int(f(xi), xi=0..z-sigma)*h(sigma), sigma=0..z)

mit h(z) in R^(2x1) in Pseudocode. Arrayvalued scheint von integral2 nicht unterstützt zu werden.

Ist das auch möglich?

lapricorn

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Verfasst am: 23.09.2016, 07:11 Titel:

Und was ist, wenn f und h nur als diskrete Vektoren bzw. Matrizen vorliegen (mit interp1 Funktionen zu generieren scheint mir ungünstig)?

Nachtrag für den letzten Post: f ist hierbei natürlich eine skalare Funktion.

Harald

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Verfasst am: 23.09.2016, 07:44 Titel:

Hallo,

Zitat:

warum dann aber kein Vektor am Ende rauskommt

weil die Funktionsauswertungen für die Integralberechnung aufsummiert werden.

Zitat:

Jetzt möchte ich das ganze für die Dimension 2x1 für y implementieren: D.h.:

y(z) = int([1 0; 0 1]*int(f(xi), xi=0..z-sigma)*h(sigma), sigma=0..z)

mit h(z) in R^(2x1) in Pseudocode. Arrayvalued scheint von integral2 nicht unterstützt zu werden.

Ist das auch möglich?

Ich sehe da nur die Möglichkeit, die Integrale für die einzelnen Komponenten separat zu berechnen.
Wenn die Matrix konstant ist (d.h. unabhängig von xi und sigma), dann kann man sie aber auch vor das Integral ziehen.

Zitat:

Und was ist, wenn f und h nur als diskrete Vektoren bzw. Matrizen vorliegen (mit interp1 Funktionen zu generieren scheint mir ungünstig)?

Dafür ist dann trapz gedacht, das du ja eingangs verwendet hattest.

Grüße,
Harald

lapricorn

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Verfasst am: 23.09.2016, 11:05 Titel:

Viele Dank.


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