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Ebene Punkte
 

turnthepage

Gast

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     Beitrag Verfasst am: 13.10.2009, 16:02     Titel: Ebene Punkte
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Hallo zusammen,

ich hätte da mal eine kleine Frage:
Und zwar habe ich gegeben eine Ebene (bestehend aus 4 Punkten) und (sehr) viele Punkte. Jetzt möchte ich auf möglichen einfachen Weg rausfinden welche Punkte sich auf der einen und welche Punkte sich auf der anderen Seite der Ebene befinden. In der Ebene liegen können sie nicht.
Ich möchte vermeiden eine Ebenengleichung aufzustellen (ist bei MATLAB sowieso Quatsch) und ich möchte wenn es sich vermeiden lässt das KOS nicht transformieren.
Wenn ich das machen würde wär die Lösung des Problems ganz leicht aber wahrscheinlich viel zu rechenaufwendig da ich dieses Prozedere oft wiederholen muss.
Mein Ansatz ist bis jetzt folgender 2 Vekoren bilden die in der Ebene liegen, Kreuzprodukt der beiden bringt mir den Normalenvektor der Ebene.
Soweit so gut aber wie kriege ich mit den 3 Vektoren die Lage eines Punktes in Bezug zur Ebene raus?
Leicht wäre es wenn ich jetzt diese 3 Vekoren als Ursprung meines Koordinatensystems wählen würde, dann müsst ich immer nur gucken welcher Eintrag des Normalenvektors ungleich null ist und meine Punkte daraufhin untersuchen ob dieser Eintrag größer oder kleiner null ist. Ich glaube aber dass das Transformieren der sehr vielen Punkte zu viel Rechenzeit beansprucht.
Fällt einem vielleicht eine allgemeingültig Lösung ohne Koordinatentransformation ein?
Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe.

Grüße Max


Thomas84

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     Beitrag Verfasst am: 14.10.2009, 05:43     Titel:
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Hab nicht überprüft ob der code wirklich das richtige macht, aber ich würde so vorgehen.
Zuerst die Ebenengleichung berechnen (dazu reichen doch 3 Punkte, oder meinst du einen 4d Raum?) und dann die z-Koordinaten der Ebene und der Punkte vergleichen.

Code:

% Punkte Ebene
e1 = [2 5 4];
e2 = [1 6 2];
e3 = [1.2 5.4 2];

% Punkte ausserhalb  ( p(:,k) sind die Koordinaten des k-ten Punktes)
p = [ 2 4 8;  1 1 -1; 3 4 2; 5 9 1]';

%Ebenengleichung z = mx*x + my*y + az_0
z = [e1(3) e2(3) e3(3)]';
x = [e1(1) e1(1) 1;e2(1) e2(1) 1;e3(1) e3(2) 1];
a = x\z;

% z-Koordinate der Ebene ausrechnen
pez = a(1)*p(1,:) + a(2)*p(2,:) +a(3);

% Vergleich der z-Koordinaten zwischen Punkten und Ebene
e = (p(3,:)-pez > 0)
 
 
Helmert
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     Beitrag Verfasst am: 14.10.2009, 07:03     Titel:
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Wieso willst du die Ebenengleichung denn nicht aufstellen?

Ich würde über die Hessesche Normalenform gehen:
Code:

% Punkte Ebene
e1 = [2;5;4];
e2 = [1;6;2];
e3 = [1.2;5.4;2];

% Punkte ausserhalb  ( p(:,k) sind die Koordinaten des k-ten Punktes)
p = [ 2 4 8;  1 1 -1; 3 4 2; 5 9 1]';

% normierter Normalenvektor
n = cross(e3-e2,e3-e1);
n = n/norm(n);

% Abstand der Ebene vom Ursprung
d = n'*e1;

% Hier gibt das Vorzeichen des Ergebnisses an, auf welcher Seite der Punkt liegt:
n'*p-d
 
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turnthepage

Gast

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     Beitrag Verfasst am: 14.10.2009, 15:19     Titel:
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Hatte irgendwie ein Brett vorm Kopf. Jetzt wo ich auf eure Antworten schau, leuchtet mir das auch ein. Hätte man auch selbst drauf kommen können.
Tausend Dank!!!
Grüße Max
 
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