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Forum-Century
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Verfasst am: 05.04.2011, 14:25
Titel: Eigenwert?
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Sehr geehrte Community,
Ich habe eine Frage. Im Moment beschäftige ich mich Eigenwertproblemen. Ich versteh aber nicht so richtig, was sie eigentlich über ein Gleichungssystem eindeutig aussagen bzw. was es geometrisch bedeuted. Ich habe schon von Eigenfrequenzen eines Systems gehört aber nur zusammenhangslos.
Die Rechnerei ist dabei kein Problem. Es geht nur um die geometrische oder physikalische Deutung dessen, hinter der ich nciht ganz hintersteige.
Mit freundlichen Grüßen,
Icke
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| Jan S |
Moderator
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Verfasst am: 05.04.2011, 19:15
Titel: Re: Eigenwert?
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Hallo Scriptor,
Der Eigenwert ist definiert durch:
A * x = l * x
Wenn Du das zunächst man für eine Matrix A der Dimension [1 x 1] betrachtest, ist es trivial: Der Eigenwert ist die Größe, um den x bei der Transformation gestreckt wird.
Genauso ist es bei einer [n x n] Matrix: Sie streckt bestimmte Vektoren (nämlich die Eigenvektoren) um einen bestimmten Betrag. Eine Rotationsmatrix muss deshalb den Eigenwert 1 haben und dazu muss die Rotationsachse als Eigenvektor gehören:
R * x = 1 * x
Das ist equivalent zu: Die Rotation um eine Achse verändert einen Vektor parallel zur Achse nicht.
Wenn man R nun verdoppelt (R2 = 2 * R), wird nicht mehr nur rotiert, sondern auch vergrößert, und damit wird der Eigenwert auch 2:
R2 * x2 = 2 * R * x2 = 2 * l * x2
Der Eigenwert ist also der Vergößerungsfaktor für den Eigenvektor.
Gruß, Jan
Gruß, Jan
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| Scriptor |
Themenstarter
Forum-Century
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Beiträge: 217
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Verfasst am: 06.04.2011, 00:52
Titel:
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Demnach sind Eigenvektoren die Vektoren in einem System, welche nur gestreckt aber die Richtung nicht ändern. Wie ist das Beispielsweise bei einer Fouriermatrix (nxn)? Ich habe nun n Eigenwerte und berechne nun für einen Eigenwert den Eigenvektor. Steht der Ursprungsvektor demnach orthogonal zum Eigenvektor?
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