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Fahrspurerkennung - Regression mit zwei stetigen Polynomen

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Verfasst am: 19.01.2014, 18:49 Titel: Fahrspurerkennung - Regression mit zwei stetigen Polynomen

Hallo zusammen,

ich möchte erste Voruntersuchungen für eine mögliche Fahrspurerkennung anstellen. In der unglaublich umfangreich erhältlichen Literatur bin ich auf einige Paper gestoßen, welche als Fahrspurmodell zwei kubische Polynome verwenden, welche in Position und Steigung, evtl. sogar Krümmung stetig aneinander geheftet sind.

Die generelle Verwendbarkeit von kubischen Polynomen von als Fahrbahnmarkierungsmodell ist in vielen Veröffentlichungen ja schon aufgezeigt worden. Eine hinreichend genaue Approximation von Klothoiden, Kreissegmenten und Geraden ist damit ja möglich. Einen Testcode, wie das Modell-Fitting mit möglichen Messwerten einer Klothoide aussehen würde, habe ich schon mal erstellt und hängte ich entsprechend unten an.
Was ich nun gern machen würde ist, dass ich statt einem einzigen Polynom 3. Ordnung einfach zwei hintereinander geschaltete verwende. Damit liese sich ein Straßenverlauf mit Krümmungsunstetigkeiten oder schnellen Krümmungsänderungen schön approximieren und dennoch weit genug in die Distanz fitten. Man stelle sich eine lang gezogene Linkskurve, ein kurzes Geradenstück und kurze Rechtskurve vor; mit einem Polynom dritter Ordnung könnte man die Straße ENTWEDER nicht genau genug annähern ODER man würde die Vorrausschaudistanz stark kürzen müssen, um die Straße genau genug annähern zu können. Mit zwei Polynomen 3. Ordnung ließe sich dieser Konflikt entschärfen.

Leider weiß ich nicht, wie ich es schaffe, diese Randbedingung der stetigen Polynome in die Koeffizientenberechnung in der Ausgleichsrechnung umzusetzen. Nach einiger Recherche bin ich auf die Verwendung von Splines gestoßen, welche ja eine ähnliche Anwendung darstellen. Ich möchte aber eine beliebige Anzahl von Punkten mit genau zwei kubischen Splines approximieren. Wie ich jedoch genau diese Begrenzung auf zwei Splines technisch hinbekomme, habe ich nicht ganz verstanden. Hat hier jemand mehr Erfahrung mit der Materie und kann mich vielleicht ranführen?

Bin für jede Hilfe dankbar!

Mein bisheriges Ergebnis:

Code:

% Lineare Regression eines Polynoms
%
% 19.01.2014

clear all;
close all;
clc;

% Schritt 1 - Allgemein die Punkte entlang einer Klothoide berechnen
%
% Quelle: http://www.researchgate.net/post/Ho.....othoid_with_limited_data2

a = 2;
f1 = @(s)1/a*cos(s.^2);
f2 = @(s)1/a*sin(s.^2);

p = @(t)quadl(f1,0,t);
q = @(t)quadl(f2,0,t);

resolution = 2000;
L = 3;
l = linspace(eps,L,resolution);

xRaw = arrayfun(p,l);
yRaw = arrayfun(q,l);

% we need row-vectors later on, so we need to assert the correct sizes
if ( size( xRaw, 1 ) > size( xRaw, 2 ) )
xRaw = xRaw';
end

if ( size( yRaw, 1 ) > size( yRaw, 2 ) )
yRaw = yRaw';
end

% Schritt 2 - Probe entnehmen
%

iStart = 1;
iStep = 5;
iEnd = 100;
iShift = 100;

while ( iStart ~= iEnd && iStart < length( xRaw ) )
% select some points along the clothoid
xSelected = xRaw( iStart : iStep : iEnd );
ySelected = yRaw( iStart : iStep : iEnd );

% for rotation purpose we arrange all points in one matrix
pSelected = [ xSelected; ySelected ];

% Schritt 3 - Transformieren der Koordinaten und verrauschen des
% Signals
%
% Quelle: http://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/93554

% we need at least 2 points to calculate the heading angle
if length( xSelected ) < 2
break;
end

% calculate heading angle
heading = -1 * atan2( ySelected( 2 ) - ySelected( 1 ), xSelected( 2 ) - xSelected( 1 ) );

% calculate the rotation matrix
R = [ cos(heading), -sin(heading); sin(heading), cos(heading) ];

% calculate the vector to shift the selected points into the origin
tCenter = repmat( [ xSelected(1); ySelected(1) ], 1, length(xSelected) );

% transform the selected points
pTrans = R * ( pSelected - tCenter );
xTrans = pTrans( 1, : );
yOrigTrans = pTrans( 2, : );

% add noise with standard deviation of 6e-4
yTrans = yOrigTrans + 0.0006 .* randn( size(yOrigTrans) );

% Schritt 4 - Polynomkoeffizienten schätzen (Ausgleichsrechnung)
%
% Quelle: http://math.nmsu.edu/~breakingaway/.....icientsOfAPolynomial.html

polyOrder = 3;

% Create Coefficient Matrix
for iPoly = 0:polyOrder
C( :, iPoly+1 ) = xTrans'.^iPoly;
end

% Create Vector with our "measured" points
D = yTrans';

% Calculate Moore-Penrose-Pseudoinverse to find a solution
S = inv( C' * C ) * C' * D;

% Schritt 5 - Berechne eine Schar von Punkten aus dem geschätzen Polynom
%

xEstim = linspace( xTrans(1), xTrans(end), 100 );

% Create Coefficient Matrix
for iPoly = 0:polyOrder
CEstim( :, iPoly+1 ) = xEstim'.^iPoly;
end
CEstim(:,1) = 0;

yEstim = CEstim * S;

% Schritt 6 - Zur Kontrolle das Ergebnis plotten
figHdl = figure(1);
clf(figHdl);
subplot( 2, 1, 1 );
plot( xRaw, yRaw, 'b-', 'LineWidth', 4 );
hold on;
plot( xSelected, ySelected, 'ro' );
hold off;
axis equal;
subplot( 2, 1, 2 );
plot( xEstim, yEstim, 'k-', 'LineWidth', 4 );
hold on;
plot( xTrans, yTrans, 'mo' );
plot( xTrans, yOrigTrans, 'c*' );
hold off;
axis equal;

iStart = min( [ iStart + iShift; length( xRaw ) ] );
iEnd = min( [ iEnd + iShift; length( xRaw ) ] );
end

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