falsche Amplitude DFT

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patalmqx

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Verfasst am: 08.05.2013, 11:33 Titel: falsche Amplitude DFT

Hallo Freunde der Mathematik,

ich versuche mich über die DFT an die FFT heranzutasten, und zwar mit der Hilfe von Matlab. Ich habe mir eine einfache Funktion dafür ausgesucht:
http://www.imgbox.de/show/img/M1QKEpvNzG.JPG
http://www.imgbox.de/show/img/loBZH67QaI.png

Per Handrechnung bin ich über die Fourierreihen zu folgendem Amplitudenspektrum gelangt, was für mich jetzt auch erstmal logisch aussieht:
http://www.imgbox.de/show/img/7lvdHxAdCF.png

Mit HöMa 2 von Vachenauer habe ich folgenden DFT Code versucht:

Code:

clear;
n=500;
per=1;
dt=per/n;
%Diskretisierung
for i=1:1:n
t(i)=dt*i;
y(i)=2*sin(2*pi*t(i))+sin(6*pi*t(i))+cos(6*pi*t(i));
xa(i)=i/per;
end
y=y';
%Kontrollplot
%plot(t,y);
ft=dftmtx(n);
%Spektralkoeffizienten c erzeugen
c=(1/n)*ft*y;
%Betrag der Koeffizienten
for i=1:1:n
cn(i)=abs(c(i));
end
%Plot auf relevanten Frequenzbereich beschränken
xa(50:end)=[];cn(50:end)=[];
plot(xa,cn,'.')

Funktion ohne Link?

Der Plot des Spektrums liefert jedoch nur 1/2 so hohe Amplituden..ich habe nach langer Suche etwas von einer Multiplikation der Amplitude mit Faktoren zum Erhalten der Energie (?) gefunden. Wirklich schlau bin ich daraus leider noch nicht geworden. Kann mich jemand erhellen?

Danke!

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Verfasst am: 10.05.2013, 11:58 Titel:

Da ich nicht weiß, was die Funktion dftmtx macht, wäre es nur raten. Bei der matlab FFT Version ist es folgendermaßen. Man erhält ein zweiseitges Frequezspektrum von -fs/2...0...+fs/2. Bei einer 2^x Anzahl an Messwerten, was ja für eine FFT erforderlich ist, kommen der Gleichsignal Anteil wie auch die Nyquistfreq. (fs/2) nur einmal in dem Outputvektor der FFT vor. Die restlichen Werte sind konjugiert komplex zueinander und haben eben nur die halbe Amplitude. Will man nur den positiven Freq.bereich darstellen, muss eben anders skaliert werden. Siehe folgende Funktion:

Code:

function [mag, mag_dB, fv] = FFT_betragsspektrum( signal, nfft, fa) ;
% Input:
% Signal im Zeitbereich
% nfft = Anzahl Messwerte für fft
% ist nfft keiner 2er Potenz, wird der langsamere DFT Algorithmus verwendet
% wenn nfft > length(sig) -> fft(sig,nfft) führt Zeropadding durch
% fa = Abtastfreq.
% Output:
% Magnitude des Spektrums linear und dB skaliert
% Frequenzvektor fv in [Hz] von 0...fa/2

% un-,gerade Anzahl Messwerte?
if mod(nfft,2) == 0;
k = (nfft/2) + 1;
else
nfft = nfft + 1;
k = (nfft/2) + 1;
end

fn = fa/2; % Nyquistfreq.
df = fa/nfft; % Frequenzauflösung des Spektrums
% Frequenzvektor: Darstellung bis Nyquistfreq.
fv = 0: df : fn;

sig = signal(:);

% Signal transformieren
Fy = fft(sig,nfft);

% Betrag - nur positives Freq.spektrum
Fy_pos0 = abs(Fy(1:k));

% Skalierung
mag = [Fy_pos0(1)/nfft ;Fy_pos0(2:k-1)/(nfft/2);Fy_pos0(k)/nfft];

% Umrechnung in dB
mag_dB = 20*log10(mag + eps); % eps = kleine Konstante zur Vermeidung von log(0)

Funktion ohne Link?

patalmqx

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Verfasst am: 12.05.2013, 09:06 Titel:

Die dftmtx(n) erzeugt die Fouriermatrix der Größe nxn, die in der DFT benötigt wird. In HöMa 2 von Vachenauer wird diese auch verwendet. http://www.mathworks.de/de/help/signal/ref/dftmtx.html
Ich versuche mal, Deinen Code zu verstehen.

Im Microcontroller.net Forum meinte jemand, meine DFT Ergebnisse seien korrekt und lediglich meine Handrechnung hat zu zu großen Amplituden geführt. Mit den händisch berechneten Koeffizienten kann ich jedoch die exakte Ausgangsfunktion durch Einsetzen in die Fourierreihe erhalten..

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Verfasst am: 15.05.2013, 11:11 Titel:

So fern keine Leakage auftritt muss die Amplitude im Betragsspektrum die Amplitude des Testsignals zeigen. Nur bei Leakage wird die Amplitude kleiner sein...

Code:

Fs=1024;
N=1024;
t=0:1/Fs:(N-1)/Fs;
df = Fs/N; % = 1 somit werden alle Frequenzen in y1, die ein ganzes Vielfaches von df sind korrekt wiedergegeben. Hier tritt kein Leakage auf. Besteht kein ganzes vielfaches Verhältnis zu df = Leakage = geringere Amplitude.

f1 = 10 * df;
f2 = 25*df;

y=2*sin(2*pi* f1* t)+sin(2*pi*f2 * t)+cos(2*pi* f2 *t);
% ich verwende hier die zuvor gepostete Funktion
[mag, mag_dB, fv] = FFT_betragsspektrum( y, N, Fs) ;
figure(1)
plot(fv,mag);grid on;
xlabel('Frequenz in Hz');
ylabel('Amplitude');

figure(2)
y1=2*sin(2*pi* f1 * t);
y2=sin(2*pi* f2 * t)+cos(2*pi* f2 * t);
plot(t,y1,t,y2); grid on;
xlabel('Zeit in s');
ylabel('Amplitude');

Funktion ohne Link?

Wie du hier siehst stimmt die Amplitude im Betragsspektrum mit dem Testsignal y1 + y2 überein.


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