Finite Differenzen Methode eines PDE mit Gleichungssystem

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SButz91

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Verfasst am: 26.07.2016, 07:36 Titel: Finite Differenzen Methode eines PDE mit Gleichungssystem

Hallo alle zusammen,

ich habe mich hier im Forum schon einmal umgesehen, aber leider noch keinen Post gefunden, der so richtig auf mein Problem passt. Vielleicht kann mir hier jemand helfen...

Ich habe folgende Aufgabe. Ich möchte ein PDE lösen, indem ich dieses mit Hilfe der FDM umwandle. Im Prinzip kein Problem, allerdings habe ich ein gekoppeltes Gleichungssystem und genau da liegt jetzt mein Problem.

Das System lautet wie folgt:

$\frac{dc_i}{dt} + w\cdot \frac{dc_i}{dx} + a\cdot \left(c_i - d_i\right) = D\cdot \frac{d^{2} c_i}{dx^{2}}$

$\frac{dq_i}{dt} = b\cdot \left(c_i - d_i\right)$

$q_i = \frac{H*d_i}{1+\sum\limits_{k=1}^3 p_k\cdot K_k\cdot d_k }$

Dabei sind c_i,q_i und d_i meine Variablen, alles andere sind Konstanten. Zu dem System gehören selbstverständlich auch Anfangs- und Randbedingungen, die ich aber hier rauslassen möchte.

Mein Code sieht jetzt folgendermaßen aus:

Code:

L_Column = 2; % [m] Säulenlänge
N_Dis_X = 100; % [-] Anzahl der Diskretisierungspunkte in X-Richtung
n_Comp = 3; % [-] Anzahl der Komponenten
t_end = 500; % [s] Simulationsdauer

%axial
x_axial = linspace(0,L_Column,N_Dis_X); % [m] Vektor der axialen Diskretisierung
dx = x_axial(2) - x_axial(1); % [m] axiale Schrittweite
axial = length(x_axial); % [-] Anzahl der axialen Diskretisierungspunkte

%zeitlich
dt = 10; % [s] zeitliche Schrittweite
t_time = 0:dt:t_end; % [s] Vektor der zeitlichen Diskretisierung
time = length(t_time); % [-] Anzahl der zeitlichen Diskretisierungspunkte

%komponentenweise
comp = n_Comp; % [-] Anzahl der komponentenweisen Diskretisierungspunkte

d_i = zeros(axial,time,comp); % [kg/m^3] Konzentration an der stationären Phase der Komponente i
c_i = zeros(axial,time,comp); % [kg/m^3] Konzentration in der mobilen Phase der Komponente i
q_i = zeros(axial,time,comp); % [kg/m^3] Beladung an der stationären Phase der Komponente i

for tdx = 2:time
for xdx = 2:axial-1
for idx = 1:comp
% RANDBEDINGUNGEN
%Eintritt
c_i(1,tdx,idx) = c_in_i(1,tdx,idx);
%Austritt
c_i(end,tdx,idx) = c_i(end-2,tdx,idx);

c_i(xdx,tdx+1,idx) = dt*D_ax/(dx.^2).*(c_i(xdx+1,tdx,idx)-2*c_i(xdx,tdx,idx)+c_i(xdx-1,tdx,idx)) - dt/(2*dx).* u_int(xdx,tdx,idx) .* (c_i(xdx+1,tdx,idx)-c_i(xdx-1,tdx,idx)) - dt.* a(idx) .*(c_i(xdx,tdx,idx) - d_i(xdx,tdx,idx));
q_i(xdx,tdx+1,idx) = dt/d_Part.*b(idx).*(c_i(xdx,tdx,idx)-d_i(xdx,tdx,idx)) + q_i(xdx,tdx,idx);
q_i(xdx,tdx,idx) = H(idx)*d_i(xdx,tdx,idx)/(1+p_i(1)*K_i(1)*d_i(xdx,tdx,1)+p_i(2)*K_i(2)*d_i(xdx,tdx,2)+p_i(3)*K_i(3)*d_i(xdx,tdx,3));
end
end
end

Funktion ohne Link?

Jetzt ist aber das Problem, dass die einzelnen Größen in den drei Gleichungen genutzt werden, die Gleichungen aber ja nacheinander gelöst werden.

Wie kann ich meine drei Größen nun trotzdem ermitteln?

Ich danke euch schon einmal für eure Unterstützung.

Beste Grüße,
SButz91


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