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Fläche im Raum und Schraubenlinie, Schnittpunkt finden
 

mullman1
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Beiträge: 7
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     Beitrag Verfasst am: 24.05.2021, 16:40     Titel: Fläche im Raum und Schraubenlinie, Schnittpunkt finden
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

ich habe mal wieder eine Frage.
Und zwar habe ich folgende Beziehung für eine Fläche im Raum gegeben:
(-x^2)/5 - (y^3)/10 - 5*z + 5

Bereich x = -5...5
Bereich y = -5...5

Nun habe ich eine Schraubenlinie r(t) mit der Komponentendarstellung:
x(t) = R*cos(2*pi*t)
y(t) = R*sin(2*pi*t)
z(t) = H*t

mit den Parametern H=1, R=1 und t = 0...5

Ich habe die Fläche im Raum und die Schraubenlinie mit Matlab darstellen können.
Mathematisch fehlt mir jetzt jedoch der Ansatz den Schnittpunkt zwischen diesen beiden Funktionen zu finden.
Mit dem Gleichsetzen beider Funktionen erhalte ich folgenden Ansatz:
(-x^2)/5 - (y^3)/10 - 5*z + 5 = R*cos(2*pi*t) + R*sin(2*pi*t) + H*t

0 = R*cos(2*pi*t) + R*sin(2*pi*t) + H*t + x^2/5 + y^3/10 + 5*z - 5

Falls das nun soweit alles richtig ist stellt sich bei mir die Frage wie ich weiter vorgehe.
Im Anhang mein Code. Dort kann man auch den Plot sehen, wenn man ihn ausführt.

Mit freundlichen Grüßen und Danke im Voraus
Daniel Kunz

Code:
clear all
clc

x = -5:0.1:5;
y = x;

z = (-x.^2/5 - y.^3/10 +5)/5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z = (-X.^2/5 - Y.^3/10 +5)/5;
mesh(X,Y,Z), hold on, grid on


t = 0:0.05:5, H = 1, R = 1

x_t = R*cos(2*pi*t)
y_t = R*sin(2*pi*t)
z_t = H*t
plot3(x_t,y_t,z_t)
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Harald
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Beiträge: 24.495
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     Beitrag Verfasst am: 24.05.2021, 17:00     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

gemeint ist wohl
(-x^2)/5 - (y^3)/10 - 5*z + 5 = 0
?

Zitat:
Mit dem Gleichsetzen beider Funktionen erhalte ich folgenden Ansatz:
(-x^2)/5 - (y^3)/10 - 5*z + 5 = R*cos(2*pi*t) + R*sin(2*pi*t) + H*t

Den Ansatz halte ich nicht für sinnvoll. Die linke Seite ist 0, die rechte eine meines Erachtens willkürliche Addition von x, y und z.

Sinnvoller fände ich, x, y und z in die erste Gleichung einzusetzen, also
(-( R*cos(2*pi*t))^2)/5 - ((R*sin(2*pi*t))^3)/10 - 5*(H*t) + 5 = 0

Nun hast du eine Gleichung in t, die du z.B. mit Hilfe von fsolve lösen kannst.

Grüße,
Harald
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mullman1
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Beiträge: 7
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     Beitrag Verfasst am: 24.05.2021, 17:12     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Super das war mir nicht so klar vor augen, dass die Fläche im Raum die Beziehung ... = 0 hatte.
Jetzt konnte ich es mit folgendem Code denke ich lösen.
Jedenfalls ergeben die Werte mit dem visuellen Vergleich Sinn.
Code:
clear all
clc

x = -5:0.1:5;
y = x;

z = (-x.^2/5 - y.^3/10 +5)/5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z = (-X.^2/5 - Y.^3/10 +5)/5;
mesh(X,Y,Z), hold on, grid on


t = 0:0.05:5, H = 1, R = 1

x_t = R*cos(2*pi*t)
y_t = R*sin(2*pi*t)
z_t = H*t
r_t = x_t + y_t + z_t

plot3(x_t,y_t,z_t)
xlabel('X-Achse')
ylabel('Y-Achse')
zlabel('Z-Achse')
legend('Fläche','Schraubenlinie')
title('Schnittpunkt zwischen Fläche und Schraubenlinie')
SPt = fsolve(@(t) (-( R*cos(2*pi*t)).^2)/5 - ((R*sin(2*pi*t)).^3)/10 - 5*(H*t) + 5,0)

SPx = R*cos(2*pi*SPt)
SPy = R*sin(2*pi*SPt)
SPz = H*SPt

fprintf('Schnittpunkt zwischen Fläche und Schraubenlinie: SPxyz(%.4f / %.4f / %.4f)\n',SPx,SPy,SPz)
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