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Gekoppelte Ratengleichungen als PDE mit Matlab lösen ? |
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| PeterK |
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Verfasst am: 23.12.2013, 15:42
Titel: Gekoppelte Ratengleichungen als PDE mit Matlab lösen ?
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Hallo alle zusammen,
ich würde gerne gekoppelte Ratengleichungen lösen.
Ich bin kein Experte mit Matlab, daher ist meine erste Frage, ob folgendes überhaupt gut mit Matlab zu lösen ist.
Es handelt sich um gekoppelte PDE's, also um Gleichungen welche Zeitableitungen und eine Ortsableitung, entlang einer Dimension, enhält.
Mit diesen Gleichungen möchte ich berechnen was mit einem Photonenstrom u passiert wenn er einen Laserkristall durchquert und in diesem Absorptions und Emissionsprozesse auslöst. Die Gleichungen habe ich als extra Bild weiter unten eingefügt.
Kurz zur physikalischen Bedeutung der Gleichungen:
Gleichung 1) und 2) beschreiben, dass ein Photonendichtestrom u Absorptions und Emissionsprozesse (also Übergänge von n0 nach n1, bzw. anders herum) in einem kleinen Volumensegment eines Laserkristals erregt.
Dadurch wird der Photonenstrom kleiner (bei Absorption) bzw. größer (bei Emission) wenn er in das nächste Volumensegment des Laserkristalls eintritt (Gleichung 3)), wo er dann wieder Absorptions und Emissionsprozesse auslöst.... und so weiter ...
Das Ziel wäre es nun, die Berechnung der Zustandsdichten n0, n1 und des Photonenstroms u als Funktion von z (also entlang des Laserkristals) und t.
Das gekoppelte System der Gleichungen 1) und 2) habe ich mit ODE45 schon lösen können, aber nun da noch über Gleichung 3 eine Ortsableitung hineingekommt, bin ich etwas überfordert 
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen. Ich freue mich auf eure Antworten! 
Viele Grüße
Peter
| Beschreibung: |
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| Dateiname: |
Model Absorption und Emission.jpg |
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| Heruntergeladen: |
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| PeterK |
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Verfasst am: 29.12.2013, 00:54
Titel: Alternatives Rechenmodel: Nur teilweise Differentiell
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Hallo alle zusammen,
also entweder ist mein Problem doch eine ganz schöne harte Nuss, oder ich habe mich nicht wirklich verständlich ausgedrückt
Es gab ja schon eine ganze Menge Aufrufe, aber leider noch keine Wortmeldungen. Wenn ich mich undeutlich ausgedrückt haben sollte, dann bitte einfach nochmal nachfragen.
Um dem Problem ein PDE lösen zu müssen aus dem Weg zu gehen habe ich mir ein (hoffentlich) vereinfachtes Model überlegt (siehe Bild mit Erklärungen weiter unten).
Die gekoppelte Diff-Gleichung 1) und 2) kann man einfach über als "Ordinary Diferential Equation" behandeln (Lösbar mit ODE45), und die Bewegung durch den Raum (bzw. durch den Laserkristall) ganz klassisch in kleinen Schritten delta_z bzw. durch kleine Teil-Volumen delta_V.
Ich teile meinen Kristall also in kleine Volumensegmente ein und gehe davon aus, dass die beiden Diff-Gleichungen 1) und 2) näherungsweise auch für das gesammte Raumvolumen delta_V gilt.
Ich berechne also:
a) Berechnung der Besetzungsdichten n1 (t) und n0 (t) für jedes Volumensegment delta_V als Funktion der Zeit t und des Photonenstroms u(t).
b) Berechnung des Photonenstroms u_out (t) nach durchqueeren eines jeden Volumensegments delta_V mit.
u_out (t) = u_in (t) (n1 (t) * delta_V),
wobei n1 (t) * delta_V die (angehäherte) Besetzungsdichte N1 im gesamten Raumvolumen delta_V ist.
Ich bewege mich also von Volumensegment zu Volumensegment. Was in einem Volumensegment passiert wird über die Diff-Gleichungen 1) und 2) beschrieben und der Input und Output eines Segments wird über 3) beschrieben.
Ich denke, dass wenn ich die Volumensegmente delta_V klein genug mache, die Ergebnisse irgendwann recht genau sein müssten.
Schöner wäre es natürlich irgendwie alles differenziell zu berechnen, wie ich es auch in der Anfangspost versuchte zu erklären, aber eventuell könnte ich es vielleicht auch so versuchen?
Würde mich über jede Wortmeldung hier freuen. Wie gesagt, wenn etwas nicht klar formuliert sein sollte, dann einfach nochmal nachfragen
| Beschreibung: |
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Semi-Differentielles_Model.jpg |
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