Gradientenverfahren zur Lösung von Normalengleichungen

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Verfasst am: 15.03.2011, 11:29 Titel: Gradientenverfahren zur Lösung von Normalengleichungen

Sehr geehrte Mathematiker und uns,

Da cih gesehen habe, das wir einige von ihnenunter uns haben, habe ich gedacht, das ichmit meinem Anliegen hier gar nciht so falsch bin. Im Moment beschäftige ich mich mit Rekonstruktionen von Matrizen über die Gradientenverfahren steilster Abstieg und Conjugierter Gradienten Verfahren. Ebenso den Landweber Algorithmus mit dme ich aber noch weniger zurecht komme. Bei den Gradientenverfahren macht es Sinn, von irgendeiner Matrix den negativen Gradienten zu bilden und ihn in einen Schritt reinzubrauen, der zur Lösung einer Gleichung führt, die folgendes Minimierungsproblem aufweist:

$r = a - Xb$ wobei der Betrag von r Minimiert werden soll.

Demnach handelt es sich um folgendes Gleichungssystem in Form von Matrizen:

$a = Xb$

Welchens wenn r minimiert werden soll, folgendeStruktur als Lösung hat.

$X'a = X'Xb$

Nun die Frage, wovon soll zB beim steilsten Abstieg der Gradient gebildet werden werden?? Am meisten Sinn würde ja "r" machen, da es darum geht den Fehler zu minimieren.

Noch eine Basis Frage. Die Multiplikation eienr Matrix mit ihrer transponierten ergibt doch eine Einheitmatrix oder? Und eine Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix (dh dünnbesetzt oder?) die an ihren Diagonalstellen nur einsen aufweist.Das stimmt aber nicht so ganz. Wenn ich eine Matrix mit beliebigen Werten nehme, erhalte ich diese Einheitsstruktur im Diagonalen, aber es sind keine Nullen im Rest der Matrize auch im Fall m = n. Woran liegt dass? Kann ich einfach mir die Rechenwege ersparen und einfach eine Einheitsmatrix rausgeben lassen? Weil die Berechnung der Schritte dauert ja schon...

Mfg

Titus

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Verfasst am: 17.03.2011, 15:36 Titel:

Hallo,

ganz verstehe ich nicht, um was es eigentlich geht. Aber: X*X' ist in den seltensten Fällen die Diagonalmatrix (denn dann wäre die Funktion inv überflüssig).
Wenn die Inverse mit der Transponierten zusammenfällt, nennt man die Matrix X eine Orthonormalmatrix.

Titus

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Forum-Century


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Verfasst am: 17.03.2011, 19:49 Titel:

jupp, das habe ich mittlerweile durch nachrecherschieren rausbekommen. Danke schön.

Ich versuche ein eine schnelle diskrete Fouriertrafo Typ 2 zu realisieren mithilfe des Steepest Descent Verfahrens und anschließend mit dem counjugated gradients Methoden und auch am liebsten mit dem Landweber/Richardson Algorithmus.

In Matrixschreibweise haben wir die diskrete Fourtransformation.

$Y[\omega] = F\cdot y[t]$

wobei t nicht einheitlich abgesamplet ist wie eine normale FFT aber die Frequenzen als Integer-werte angesehen werden, wenn sich t im Bereich -0.5:0.5 befindet. Ich will mal diese schemata nachprogrammieren.Ich will ja schließlich auch verstehen, wasich da benutze, denn es scheint ein interessantes Verfahren zu sein.

Danke Titus und Mfg,

Icke


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