Höhere numerische Ableitung einer Funktion

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supernerd

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Verfasst am: 17.10.2011, 17:34 Titel: Höhere numerische Ableitung einer Funktion

Hi,
Ich schreibe gerade eine Funktion, bei der ich die numerische Ableitung einer beliebigen Funktion brauche.
Das habe ich soweit:

Code:

function y= numdiff(f,x,h)
% Berechnet die numerische Ableitung der Funktion f an der Stelle x der
% Schrittweite h mit dem Vorwärtsdifferenzenquotient:

y=(f(x+h)-f(x))/h;

Funktion ohne Link?

Das funktioniert ja auch, nur jetzt hätte ich gerne die abgeleitete Funktion f`(x) als Rückgabewert, also nicht einfach nur eine Zahl (natürlich braucht es den x Parameter auch nicht mehr), damit ich die Function verschachteln kann und so zb die zweite numerische Ableitung bilden kann.

Ich hoffe irgendjemand versteht, was ich da rede Laughing

Danke!

Harald

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Verfasst am: 17.10.2011, 18:35 Titel:

Hallo,

das kannst du am besten rekursiv angehen, indem du die n-te Ableitung als Differenzenquotienten der (n-1)-ten Ableitungen berechnest. Wenn du letztlich beim Funktionswert an sich angelangst, solltest du natürlich den zurückgeben.

Code:

function y= numdiff(f,x,h, n)
% n: Ordnung der Ableitung
% Berechnet die numerische Ableitung der Funktion f an der Stelle x der
% Schrittweite h mit dem Vorwärtsdifferenzenquotient:

if n == 0
y = f(x);
else
y=(numdiff(f, (x+h), h, n-1) - numdiff(f, x, h, n-1))/h;
end

Funktion ohne Link?

Ich würde zentrale Differenzen vorschlagen, da sich generell die Genauigkeit erhöht, ohne dass der Rechenaufwand steigt. Also

Code:

y=(numdiff(f, x+h, h, n-1) - numdiff(f, x-h, h, n-1))/(2*h);

Funktion ohne Link?

Achtung: wenn h zu klein wird, kommt es schnell zu numerischen Fehlern:

Code:

numdiff(@(x) x.^3, 4, 1e-4, 3) % funktioniert
numdiff(@(x) x.^3, 4, 1e-6, 3) % funktioniert nicht, weil h bereits zu klein

Funktion ohne Link?

Wenn die Funktion halbwegs übersichtlich ist, würde ich mir überlegen, die Ableitung durch die Symbolic Math Toolbox zu finden und dann auszuwerten, da numerische Ableitungen eben numerisch problematisch sind.

Grüße,
Harald

supernerd

Themenstarter

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Verfasst am: 17.10.2011, 18:56 Titel:

Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen Smile

Die Idee mit der Rekursion hatte ich auch schon, nur wusste ich überhaupt nicht wie ich sie umsetzen sollte, aber jetzt ist der Knoten geplatzt!
Danke nochmal!


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