Impulsantwort durch Ableitung der Sprungantwort

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Verfasst am: 29.06.2011, 12:43 Titel: Impulsantwort durch Ableitung der Sprungantwort

Hallo Mathespezis,

leitet man eine Sprungantwort ab, erhält man ja die Impulsantwort. Die Sprungantwort x[n] habe ich gemessen, kenne aber keine Funktionsgleichung.

Wenn ich die Sprungantwort nun in den Frequenzbereich transformiere, erhält man ja Real- und Imaginärteil

ReX = x[n] * cos(...)
ImX = - x[n] * sin(...)

Für die Rücktransformtion rechnet die IDFT ja folgendes...

x[n] = ReX[n] * cos(...) + ImX[n] * sin(...)

Hier fehlt natürlich die Summation etc., aber darauf kommt es mir nicht an.
Die Ableitung von cos = -sin und sin wird zu cos. Real- und Imaginärteil bleiben ja als konst. Faktor erhalten. Ebenso kann ich bei der Summenregel zur Ableitung jedes Glied einzeln differenzieren. Kann ich nun einfach die Ableitung von sin und cos bei der IDFT einsetzen und erhalte dann die Impulsantwort?

DSP

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Verfasst am: 29.06.2011, 15:46 Titel:

Ich habe mir jetzt eine Funktion geschrieben, die meine Idee umsetzt.

Code:

function output = Differenzierer(sig1)
% Zweck:
% Ableitung der Sprungantwort führt zur Impulsantwort
% Da die Funktion der Sprungantwort nicht bekannt ist, soll sie per FFT in
% die einzelnen Sinus und Cosinus Schwingungen zerlegt werden
% Methode:
% Die Funktion transformiert die Sprungantwort in den Frequenzbereich und
% soll aus den zerlegten Signalanteilen die Ableitung bilden und
% in den Zeitbereich rücktransformieren
%
% kopieren der Eingangsvektoren
sig1 = double(sig1(:));
% nächste Zweierpotenz für FFT
fftsize = 2^nextpow2(length(sig1));
% fftsize = outlength;
% mit Nullen auf fftsize auffüllen
sig1 = [sig1; zeros(fftsize-length(sig1),1)];
% Berechnung des Frequenzspektrums
sig1 = fft(sig1,fftsize);
% Zerlegung in Real- und Imaginärteil und anschließender Skalierung
Re = real(sig1(1:(fftsize/2)+1))./(fftsize/2);
Re(1) = Re(1)/2;
Re((fftsize/2)+1) = Re((fftsize/2)+1)/2;
Im = - (imag(sig1(1:(fftsize/2)+1))./(fftsize/2));
% inverse DFT mit Ableitung
output = zeros(1,fftsize)';
for k=0:(fftsize/2)
for i=0:fftsize-1
% eigentlich... + Re() * cos() -> Ableitung = - Re() * sin()
output(i+1) = output(i+1) - (Re(k+1)* sin(2*pi*k*i/fftsize));
% eigentlich... + Im() * sin() -> Ableitung = Im() * cos()
output(i+1) = output(i+1) + (Im(k+1)* cos(2*pi*k*i/fftsize));
end
end

Funktion ohne Link?

Leider stimmt die Impulsantwort nicht mit der tatsächlichen Impulsantwort des PT2 Systems überein. Habe ich einen Fehler in der Ableitung...oder geht das über die FFT einfach nicht (ist also mehr oder weniger Zufall, dass ich in etwa eine Impulsantwort erhalte)?

Wäre für Hilfe/Input sehr dankbar!

Impulsantwort_test.GIF

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joker811

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Verfasst am: 29.06.2011, 19:29 Titel:

also erstmal sieht das ja schon gar nicht so schlecht aus
aber

ich bin der meinung dass

d/dt[Re * cos(wt)] = -Re * w * sin(wt)

oder irre ich mich da??

DSP

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Verfasst am: 29.06.2011, 19:44 Titel:

Du hast recht...d.h. ich muss hier mit Substitution und Kettenregel arbeiten Rolling Eyes

Ich leite ja hier aber nach d/df ab...kommt dann der ganze Term 2*pi*k... nach vorn?

Vielen Dank für den Hinweis!!

joker811

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Verfasst am: 29.06.2011, 19:49 Titel:

also ich würde sagen ja alles nach vorne
den rest von deinem algorithmus habe ich noch nicht weiter untersucht
mir fiel nur auf das dein ergebnis fast passt bis auf die amplituden

DSP

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Verfasst am: 29.06.2011, 20:05 Titel:

So geht es leider nicht...

Die Funktion geht zumindest bei einer richtigen IDFT (also ohne das Umdrehen von cos und sin) einwandfrei und liefert wieder die Sprungantwort.

joker811

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Verfasst am: 29.06.2011, 20:18 Titel:

ich versteh eigentlich auch nicht ganz was du da machst...vielleicht seh ich auch das problem nicht aber

im diskreten würde ich die ableitung mit [x(n)-x(n-1)]/Ta berechnen
und im kontiniuerlich fall , fall es gar nicht anders geht

d/dt f(x) = -j*w F(jw) und F(jw) hast du ja schon (bzw die fft davon)

vllt hilft dir das sonst musst du mir nochmal das problem erklären

DSP

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Verfasst am: 29.06.2011, 20:32 Titel:

Du hast vollkommen Recht. Da stand ich auf dem Schlauch...die FFT ist vollkommen überflüssig. Das war von hinten durch die Brust ins Auge Embarassed

joker811

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Verfasst am: 29.06.2011, 20:42 Titel:

funktioniert es denn nun??

würde mich interessieren welchen weg du nun gegangen bist

DSP

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Verfasst am: 29.06.2011, 20:54 Titel:

Habs damit getestet...

Code:

h = diff(x)

Funktion ohne Link?

Ist ja nix anders als [x(n)-x(n-1)]. Damit erhalte ich die richtige Impulsantwort.

joker811

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Verfasst am: 29.06.2011, 21:22 Titel:

tja manchmal kanns so einfach sein ...


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