Inverse der li(x)-Funktion

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Tina88

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Verfasst am: 21.07.2012, 12:06 Titel: Inverse der li(x)-Funktion

Hallo erstmal,
ich wurde jetzt leider mit der li-Funktion konfrontiert. Diese sieht ja wie folgt aus:
$ li(x)=\int_0^x \! \frac{1}{log(t)} \, dt $

Ich habe eine Differentialgleichung gegeben, die als Lösung aber nur das hergibt:
$ li(\frac{eabf(x)}{c})=-\frac{ebx}{c} $
a,b und c sind dabei Variablen, die ich schon kenne.

Ich hatte mir jetzt gedacht, dass ich mir eine Funktion schreibe, da es anscheinend keine richtige Umkehrfunktion gibt. Meine Idee sieht folgendermaßen aus:

Code:

function y=inverse_li(x,y0)

%sind jetzt nur ausgedachte Werte
a=1;
b=0.2;
c=1;
g=@(t) 1./log(t);
n=10;
epsilon=0.01;
Z=0:y0/n:y0;
W=g(Z);
tmp=trapz(Z,W);

if tmp+exp(1)*b*x/c<=epsilon
y=tmp*c/exp(1)*b*a;
else
y=inverse_li(x,y0+0.001);
end
end

Funktion ohne Link?

Also ich gehe die obere Grenze durch und gucke, ob die Abweichung nicht zu groß ist und setze sie sonst in kleinen Schritten immer weiter rauf. Beim ersten Aufruf werde ich y0=0 wählen.

Oder gibt es da schon eine bessere Möglichkeit für? Den f(x)-wert brauche ich nämlich um weiter zu rechnen.

Harald

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Verfasst am: 21.07.2012, 17:45 Titel:

Hallo,

wäre es nicht einfacher, die DGL direkt mit ode45 o.ä. numerisch zu lösen?

Wenn du so vorgehen möchtest wie bisher, würde ich FSOLVE empfehlen, um die Inverse zu finden.

Grüße,
Harald

Tina88

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Verfasst am: 21.07.2012, 18:53 Titel:

Naja, da habe ich leider das Problem, dass die DGL keine Anfangsbedingung y0 hat.

In meinem Fall müsste ich die Funktion dann aber so definieren:

Code:

function y=findeWert(x)

g=@(s) Li(s)+e*b*x/c;
x0=1; %da Li(y) erst für y>1 definiert ist für Matlab
tmp=fsolve(g,x0); %damit ich die Integrationsgrenze bekomme

y=tmp*c/(a*b);

end

Funktion ohne Link?

Ich kann das erst am Montag in der Uni wieder testen (da Octave Li(y) nicht kennt), aber könnte es so aussehen?

Harald

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Verfasst am: 21.07.2012, 20:33 Titel:

Hallo,

d.h. du suchst die allgemeine Lösung? Dann wird dir aber doch die numerische Inverse von Li auch nicht weiterhelfen?

Grüße,
Harald

Tina88

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Verfasst am: 22.07.2012, 09:44 Titel:

Hallo Harald.

Nein, ich suche nicht die allgemeine Lösung. Ich suche eigentlich nur den Wert f(x), da der in einer weiteren Formel gebraucht wird.

Harald

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Verfasst am: 22.07.2012, 10:49 Titel:

Hallo,

blöde Frage: wie kannst du die Parameter kennen, wenn es keinen Anfangswert gibt? Passt für mich irgendwie nicht ganz zusammen.

Grüße,
Harald

Tina88

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Verfasst am: 26.07.2012, 08:40 Titel:

Ich habe mich da vielleicht ein wenig unglücklich ausgedrückt. Die anderen Parameter kann ich frei wählen bzw. soll ich auch, um zu sehen wie sich die Lösung verändert.

Harald

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Verfasst am: 26.07.2012, 08:56 Titel:

Hallo,

dann lass doch ode45 mit verschiedenen Anfangsbedingungen durchlaufen?

Grüße,
Harald

Tina88

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Verfasst am: 26.07.2012, 09:45 Titel:

Hallo Harald,

du meinst, ich soll schauen, wie sich die Lösung für veränderte a,b und c verhält? Ich habe nur leider immer noch keine Bedingung für zum Beispiel f'(0)=0 gegeben. Kommt Matlab eigentlich auch mit autonomen Differentialgleichungen zurecht?

viele Grüße
Tina

Harald

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Verfasst am: 26.07.2012, 09:50 Titel:

Hallo,

veränderte a, b, c führen ja automatisch zu veränderten Anfangsbedingungen.

Ja, MATLAB kommt auch mit autonomen DGL klar. Man nimmt hier t zwar als Eingabeargument entgegen, verwendet es aber nicht weiter - siehe Beispiel in

Code:

doc ode23

Funktion ohne Link?

Grüße,
Harald

Tina88

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Verfasst am: 26.07.2012, 09:56 Titel:

Danke, das werde ich dann mal versuchen.


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