Konvergenz von Potenzreihen (als Lösung einer DGL)

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Mario

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Verfasst am: 10.06.2013, 20:53 Titel: Konvergenz von Potenzreihen (als Lösung einer DGL)

Hallo,
eines vorweg - ich bin kein Mathematiker sondern nur Ingenieur - also sorry, wenn ich mich ein wenig unexakt ausdrücke.

Ich habe eine inhomogene DGL, die sich ganz allgemein so darstellen lässt:
$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$
Meine Versuche mit Matlabsolvern scheiterten alle, also hab ich mich per Hand drangesetzt...Dies lässt sich z.B. nach Wiki lösen wenn P und Q nur ein- bzw. zweifache Pole haben. Der (mathematische) Konvergenzradius entspreche dem minimalen Radius Reihen. In meinem Fall sind die endlich und haben nur 1 oder 2 Glieder. Entsprechend nutze ich als Lösungsansatz:
$y =x^\lambda \sum\limits_{k=1}^\infty c_k x^k$

Über Koeffizienten vergleich erhält man $\lambda$ und eine nette Rekursionsformel für die Koeffizienten.
Diese möchte ich nun mit Matlab ausrechnen (nach einigen Klimmzügen bekomme ich auch c_k, die beherschbar sind und irgendwann gegen 0 gehen. Wenn ich mir nun aber y im für mich interessanten Bereich ausrechnen will, verschwinden die Werte im Unendlichen (bei ca. 10^325) steigt er aus.

Ich habe daraufhin mal mit "klassischen" DGLs getestet und entsprechende Werte für P und Q vorgegeben. (z.B. mit P=0 und Q=1 erhält man als Lösung Sinus und Cosinus) Er rechnet dann auch die richtigen Koeffizienten aus, sodass ich ziemlich sicher bin, dass meine Formel stimmt. Auch hier ließ ich mir dann den Sinus über die Summendarstellung mit den selbst ermittelten Koeffizienten ausrechnen - wie zu erwarten funktioniert das in der Nähe von 0 recht gut und läuft bei großen Werten aus dem Ruder.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass mein Problem ein numerisches ist. Hat irgendjemand Vorschläge, wie man weiter vorgehen könnte und hält Matlab evtl. noch Funktionen bereit, die einem da weiterhelfen?

Bin für jeden Hinweis dankbar!
Viele Grüße
Mario

Harald

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Verfasst am: 10.06.2013, 21:10 Titel:

Hallo,

Zitat:

Meine Versuche mit Matlabsolvern scheiterten alle

Was genau hast du versucht, und inwiefern ist es gescheitert?
An sich sollte das ein Standardproblem und ohne größere Schwierigkeiten numerisch lösbar sein.

Ansonsten hilft ein bisschen Code oft mehr zum Verständnis der Problematik als langwierige Beschreibungen. Ich verstehe jedenfalls noch nicht, wo genau überhaupt das Problem bei dem von dir verfolgten Ansatz liegt.

Ich würde im übrigen den direkten Ansatz mit ode45 oder ähnlichen Lösern bevorzugen.

Grüße,
Harald


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