linear abhängige Vektoren innerhalb einer Matrix finden

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D-RSPhoenix

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Verfasst am: 22.06.2012, 13:42 Titel: linear abhängige Vektoren innerhalb einer Matrix finden

Hi,
Ich hab eine Matrix die aus den Vektoren der Form Vi=[Ai;Bi;Ci] besteht:

A=[V1,... Vi]

Ich weiß, dass immer je 2 dieser Vektoren linear abhängig sind.

Bsp: V1*x=V4

Ich will jetzt die zusammengehörenden Pärchen finden.

Bsp: A=[V1, V2, V3, V4, V5, V6];

es seien zB (V1,V2); (V3,V6); (V4,V5) linear abhängig

Dann sollte da rauskommen

lin_ab(A)=[1, 1, 2, 3, 3, 2]

Jemand eine Idee, wie ich das möglichst effizient erreichen kann?

Hintergrund ist ich will die Vektoren jeweils miteinander verschneiden das geht aber nur mit Vektoren, die nicht linear abhängig sind.
Für mein oben genanntes Beispiele:

V1 x V3
V1 x V4
V1 x V5
V1 x V6

V2 x V3
V2 x V4
V2 x V5
V2 x V6

V3 x V1
V3 x V2
V3 x V4
V3 x V5

V4 x V1
V4 x V2
V4 x V3
V4 x V6

V5 x V1
V5 x V2
V5 x V3
V5 x V6

V6 x V1
V6 x V2
V6 x V4
V6 x V5

(x steht hier nicht für cross() sondern für meine Verschneidungsoperation)
Um das zu realisieren zu können muss ich wissen welcher Vektor von welchem linear abhängig ist

flashpixx

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Verfasst am: 22.06.2012, 15:31 Titel:

ich denke das sollte weiter helfen: http://de.wikipedia.org/wiki/Linear_unabhängig#Lineare_Gleichungssysteme

Je nachdem in welchen Dimensionen Deine Vektoren sind könnte dies auch noch für Dich interessant sein http://en.wikipedia.org/wiki/JohnsonLindenstrauss_lemma

Sirius3

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Verfasst am: 22.06.2012, 16:44 Titel:

Hallo,

wenn die Vektoren immer paarweise linear abhängig sind, kannst Du ja in einem ersten
Schritt die Vektoren normieren

Code:

scal=sum(A.^2).^0.5;
Anorm = A./ repmat(scal,1,size(A,2));

Funktion ohne Link?

dann sind linear abhängige Vektoren wirklich gleich.

Code:

[Auni, idx] = unique(Anorm,'rows);
for i in 1:length(Auni)
linabh(ismember(Anorm,Auni(i,:))) = idx(i);
end;

Funktion ohne Link?

erledigt den Rest.

Grüße
Sirius

D-RSPhoenix

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Verfasst am: 25.06.2012, 08:55 Titel:

@Sirius3
Danke für die schnelle Antwort. Leider funktioniert das Ganze noch nicht. In der Zeile

Sirius3 hat Folgendes geschrieben:

Code:

Anorm = A./ repmat(scal,1,size(A,2));

Funktion ohne Link?

gibts nen Dimensionsfehler und ich versteh leider nicht ganz was du da machst, sonst hätt ichs selber korrigiert ;P

Ich hab auf jeden Fall 3x1 Vektoren in der Matrix, also dann [1;2;3]

Meine Beispiel Matrix ist 3x6, also 6 solcher Vektoren nebeneinander.
Ich hoffe das hilft dir weiter.

Grüße
D-RSPhoenix

flashpixx

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Verfasst am: 25.06.2012, 09:20 Titel:

Das ganze wird praktisch auch nicht funktionieren, denn wenn Du den Vektoren einen euklidischen Vektorraum zu Grunde legst, berechnet sich die Norm der Vektoren nach http://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)#Euklidische_Norm
bzw.
http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm
Wobei hier ein Wurzelausdruck notwendig ist, um den Vektor zu normieren. Da aber im Rechner eine irrationale Zahl nie exakt dargestellt werden kann ( http://de.wikipedia.org/wiki/Maschinengenauigkeit )
kann es passieren, dass zwei normierte Vektoren mathematisch identisch wären, aber innerhalb von Matlab nicht sind. Eine Prüfung auf equal (==) wird hier nicht funktionieren, sondern man muss sich hier noch zusätzlich Gedanken machen, ab wann Vektoren als gleich gelten

Jan S

Moderator


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Verfasst am: 25.06.2012, 16:05 Titel:

Hallo,

Um genau zu sein, können auch rationale Dezimal-Zahlen nicht exakt als DOUBLEs dargestellt werden, wenn es keine entsprechende Binärzahl mit der zur Verfügungstehenden Anzahl von Bits gibt. Deshalb ist 0.3-0.2-0.1 nicht exakt 0. Selbst für exakt darstellbare Zahlen kann eine mathematische Operation zu nicht-exakt darstellbaren Ergebnissen Führen:

Code:

1e17 + 1 - 1e17 ~= 1 !!

Funktion ohne Link?

Also Konsequenz darf man sich also nicht darauf verlassen, dass das Ergebnisse exakt 0 werden, sondern man akzeptiert eine "kleine" Zahl als Limit. Was dann genau "klein" bedeutet, hängt vom Problem ab.

Für zwei linear abhängig Vektoren verschwindet das Kreuzprodukt. Man könnte also die Vektoren normieren, das Kreuzprodukt ausrechnen und Ergebnisse unterhalb von 100*eps als lineare Abhängigkeit deuten.

Hilft das?

Gruß, Jan

D-RSPhoenix

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Verfasst am: 25.06.2012, 16:29 Titel:

Jan S hat Folgendes geschrieben:

Code:

1e17 + 1 - 1e17 ~= 1 !!

Funktion ohne Link?

boah Jan du bist mein Held!
Ich bin echt so doof - verschwindet heißt =0 dh einfaches if und alle meine Probleme sind gelöst ;P

flashpixx

Forum-Guru


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Verfasst am: 25.06.2012, 16:31 Titel:

Jan S hat Folgendes geschrieben:

Um genau zu sein, können auch rationale Dezimal-Zahlen nicht exakt als DOUBLEs dargestellt werden, wenn es keine entsprechende Binärzahl mit der zur Verfügungstehenden Anzahl von Bits gibt.

F'Ack. Ich mache es eh selbst in C++ via limits unt templates, somit wird das bei mir eh immer generell korrekt gehandhabt. In Matlab habe ich auch eine "numerical limit", somit kann ich das flexibel halten

Jan S hat Folgendes geschrieben:

Für zwei linear abhängig Vektoren verschwindet das Kreuzprodukt. Man könnte also die Vektoren normieren, das Kreuzprodukt ausrechnen und Ergebnisse unterhalb von 100*eps als lineare Abhängigkeit deuten.

Funktioniert aber nur beim euklidischen R^3, da dort das Kreuzprodukt definiert ist, andere Metriken bzw Normen und bei beliebigen R^n sind ausgeschlossen. Die allgemein gültige Lösung ist über ein LGS


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