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Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems
 

muenzi
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     Beitrag Verfasst am: 23.07.2014, 12:55     Titel: Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems
  Antworten mit Zitat      
Hallo zusammen, ich versuche gerade ein relativ komplexes nichtlineares Gleichungssystem zu lösen. Obwohl ich per Hand die Lösung iterativ (also erst Gleichung 1 lösen, dann diesen Wert in Gleichung 2 einsetzen usw.) berechnen kann, findet fsolve üblicherweise keinen Wert.

In meiner Beschreibung des Gleichungssystems haben die Variablen x1, x2, x3, x4, x5 und x6 die Dimension 5x4xjj, wobei jj einen Wert von 4 bis Inf einnehmen kann. Nun weiß ich aber, dass zum Beispiel x1 (3,1:4,JJ) = 0 oder x4 (:,4,JJ) =1 sind. Gibt es eine Möglichkeit solche fixen Bedingungen vorzugeben? Ich vermute nämlich, dass vielen Freiheitsgrade für den Solver ein Problem darstellen könnten.

aufgeschrieben ist das Gleichungssystem übrigens in etwa so (stark vereinfacht und nur schematisch):

Code:

function [f]=Gleichungssystem(x0)

dimx0 = [6,5,4,J];  % x0 soll eigentlich eine Matrix sein. Da fsolve aber einen Startwertevektor benötigt muss der zurücktransformiert werden. Dafür benötigte man die ursprüngliche Dimension.

x0 = reshape (x0, dimx0);  % Rücktransformation des Startwertevektors

for jj=2:J  % Schleifenweises belegen der Unbekannten mit ihren Startwerten

x1 (:,:,jj) = squeeze(x0 (1,:,:,jj));
x2 (:,:,jj) = squeeze(x0 (2,:,:,jj));
x3 (:,:,jj) = squeeze(x0 (3,:,:,jj));
x4 (:,:,jj) = squeeze(x0 (4,:,:,jj));
x5 (:,:,jj) = squeeze(x0 (5,:,:,jj));
x6 (:,:,jj) = squeeze(x0 (6,:,:,jj));

end

for jj=2:J  % Aufbau des Gleichungssystems

  f(1,:,JJ)     =    x1 (  1,1:4,jj  ) .* x2 (  1,1:4,jj  ) - a1 (  1,1:4,jj  ) * a2 (  1,1:4,jj  ) ;    % a1, a2 sind Konstanten, die ich vorgebe

  f(end+1,:,jj) = x3 (  1,1:4,jj  ) .* x4 (  1,1:4,jj  ) - b1 (  1,1:4,jj  ) * b2 (  1,1:4,jj  ) ;    % b1, b2 sind Konstanten, die ich vorgebe

  f(end+1,:,jj) = x1 (  2,1:4,jj  ) .* x2 (  2,1:4,jj  ) - x1 (  1,1:4,jj  ) .* x2 (  1,1:4,jj  ) - c1 (  1,1:4,jj  ) .* c2 (  1,1:4,jj  ) ;   % c1, c2 sind Konstanten, die ich vorgebe

  f(end+1,:,jj) = x1 (  3,1:4,jj  ) .* x2 (  3,1:4,jj  ) - x1 (  2,1:4,jj  ) .* x2 (  2,1:4,jj  ) - x5 (  3,1:4,jj  ) .* x6 (  3,1:4,jj  );

  f(end+1,:,jj) = x5 (  3,1:4,jj  ) - exp (x1 (  1,1:4,jj  ) - x3 (  1,1:4,jj  ))

  f(end+1,:,jj) = x6 (  3,1:4,jj  ) - [0,0,1,1];

  ... usw für weitere (großteils deutlich kompliziertere) 50 Gleichungen
end
 


Der fsolve-Aufruf:

Code:

options=optimset(@fsolve);     % Optionen für Optimierung
options.TolFun = 1e-9;
options.TolX   = 1e-9;
options.Algorithm = {'levenberg-marquardt',0.005};

x0             = zeros(7,5,4,J);

for jj=2:J  % Startwerte für den Solver festlegen

  x0 (1,:,:,jj) = [ ... ]
  x0 (2,:,:,jj) = [ ... ]
  ...

end

[x,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,JACOBIAN]=fsolve(@Gleichungssystem, x0,options);

 


Für Hilfe wäre ich echt dankbar. Ich sitze schon seit 2 Wochen an dem Problem.
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Harald
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     Beitrag Verfasst am: 23.07.2014, 17:05     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Hallo,

wenn du händisch löst, dann machst du das analytisch - MATLAB macht es numerisch. Das ist ein entscheidender Unterschied.

Bei numerischen Lösungsversuchen besteht die Gefahr, in ein lokales Minimum zu laufen - bei so großen Problemen natürlich erst recht.

Abhilfe wäre, über verschiedene Startwerte zu iterieren - entweder in einer for-Schleife oder durch Nutzung der Algorithmen aus der Global Optimization Toolbox.

Nebenbedingungen kannst du bei fmincon angeben, indem du statt f(x) = 0 zu lösen norm(f(x)) minimierst.

Grüße,
Harald
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muenzi
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     Beitrag Verfasst am: 23.07.2014, 18:53     Titel:
  Antworten mit Zitat      
Danke Harald,

das mit den lokalen Minima vermute ich auch. Daher auch die Nebenbedingungen um Freiheitsgrade zu reduzieren. Ich werde mich dann mal an die Umsetzung mit fmincon ranmachen.

Vielen Dank nochmal
Gruß
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