Num. Integration ergibt andere Werte als analytische

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JayvH

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Verfasst am: 27.07.2011, 14:51 Titel: Num. Integration ergibt andere Werte als analytische

Wie in meinem letzten Thread bin ich auf ein Problem mit der numerischen Integration über quad gestossen.

Ich habe eine Formel der Form
$C \cdot \frac{1}{v+\cos(\Omega) }$ , wo ich die Fläche unterhalb des Graphen in den Bereichen $-\Omega_{1}$ bis $-\Omega_{1}$ sowie $\pi - \Omega_{1}$ bis $\pi + \Omega_{1}$ benötige.

Die analytische Form des Integrals ist $C \cdot \frac{2}{\sqrt{v^2-1}} \cdot \arctan({\sqrt{\frac{v-1}{v+1}} \cdot tan(\frac{\Omega}{2}}))$

Halte ich in Matlab die beiden Bereiche gegeneinander, so machen ich das über folgendes Skript:

Code:

load Konstante.mat

% Berechnung des 1. Bereichs
Int_num_1 = quad(@myfun, -Omega_1, Omega_1);
Int_1_o = Konstante * 2 / sqrt(v^2-1) * atan(sqrt((v-1)/(v+1)) * tan(Omega_1/2));
Int_1_u = Konstante * 2 / sqrt(v^2-1) * atan(sqrt((v-1)/(v+1)) * tan(-Omega_1/2));
Int_1 = Int_1_o - Int_1_u;

% Berechnung des 2. Bereichs
Int_num_2 = quad(@myfun, pi-Omega_1, pi+Omega_1);
Int_2_o = Konstante * 2 / sqrt(v^2-1) * atan(sqrt((v-1)/(v+1)) * tan((pi+Omega_1)/2));
Int_2_u = Konstante * 2 / sqrt(v^2-1) * atan(sqrt((v-1)/(v+1)) * tan((pi-Omega_1)/2));
Int_2 = Int_2_o - Int_2_u;

Funktion ohne Link?

mit der Funktion myfun

Code:

function I = myfun(Omega)
load Konstante.mat
I = Konstante * 1./(v + cos(Omega));

Funktion ohne Link?

Im 1. Bereich erhalte ich das gleiche Ergebnis von 2,7133; im 2. Bereich jedoch die analytische Lösung von -134,8230 bzw. 134,8230 (wenn ich jetzt noch die Vorzeichen beachte, das die Fläche ja positiv sein muss). Die numerische Lösung wirft mir jedoch 479,1955 heraus. Ich denke, dass es wohl damit zu tun hat, dass der Faktor $\tan(\frac{\Omega}{2})$ für $\Omega = \pi$ ja nicht definiert ist. Was ist denn nun aber richtig bzw. was mache ich falsch?

Ich habe das Skript, die Funktion sowie die mat-Datei mit den Werten einmal als ZIP-Archiv mit angefügt.

Kleine Zusatzfrage: Gibt es eigentlich eine elegantere Lösung als die Datei Konstante.mat (die neben der Konstanten auch die Werte für v und Omega_1 entält) nochmal einzulesen?

Integrationsproblem.zip

Beschreibung:

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Dateiname:

Integrationsproblem.zip

Dateigröße:

787 Bytes

Heruntergeladen:

562 mal


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