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Numerische Genauigkeit Runge-Kutta-Verfahren |
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| Heilbronner99 |
Forum-Newbie
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Verfasst am: 17.12.2016, 17:20
Titel: Numerische Genauigkeit Runge-Kutta-Verfahren
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Hallo Zusammen,
ich habe bei unterschiedlichen Zeitschritten mit dem Runge-Kutta-Verfahren und dem Euler-Verfahren eine Funktion über der Zeit erstellt und die Genauigkeit anhand einer definierten Grenze betrachtet. Hierbei kam heraus, dass das Euler-Verfahren schneller ungenau wurde als das Runge-Kutta-Verfahren. Das Runge-Kutta-Verfahren begann erst ab sehr großen Zeitschritten zu oszillieren.
Was ist der Grund, warum das Euler Verfahren schneller ungenau wird und das Runge-Kutta zu oszillieren beginnt?
Hat hierzu jemand eine Idee?
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| Erano1 |
Forum-Fortgeschrittener
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Verfasst am: 17.12.2016, 22:07
Titel:
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Hallo,
was hast du dir bis jetzt zu diesen Verfahren angeschaut? Wenn du dir die Methoden dahinter anschaust mit denen die DGLs gelöst werden, siehst du auch schnell wie die Unterschiede zu erklären sind.
Viele Grüße,
Erano1
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| Jan S |
Moderator
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Verfasst am: 17.12.2016, 22:07
Titel: Re: Numerische Genauigkeit Runge-Kutta-Verfahren
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Hallo Heilbronner99,
Das Runge-Kutta-Verfahren hat eine höhere Ordnung. Wenn Du z.B. ein Standard-RK4 verwendest, ist der lokale Diskretisierungs-Fehler O(h^5) und der akkumulierte Fehler in der Ordnung O(h^4).
Beim Euler-Verfahren ist der lokale Fehler bei O(h^2) und der akkumulierte bei O(h).
Das wird in den Numerik-Vorlesungen eingehend erklärt. Ein Blick in WikiPedia verrät auch wietere Details.
Gruß, Jan
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| Heilbronner99 |
Themenstarter
Forum-Newbie
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Verfasst am: 18.12.2016, 07:48
Titel:
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Danke für eure Antworten.
Aber es liegt dann schließlich an der unterschiedlichen Anzahl an Stützstellen, warum der Euler früher ungenau wird oder?
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| Jan S |
Moderator
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Verfasst am: 18.12.2016, 19:07
Titel:
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Hallo Heilbronner99,
Nein, tut es nicht.
O(h) bedeutet, dass die Fehler bei halber Schrittweite in etwas halb so groß werden. O(h^4) bedeutet, dass die halbe Schrittweite bereits 16 mal genauer ist.
Man kann auch ein Verfahren konstruieren, dass viele Stützstellen verwendet und trotzdem nicht genauer wird (das wäre allerdings etwas für die "Schön blöd" Schublade).
Andererseits nutzt das Runge-Kutta-Verfahren die zusätzlichen Stützstellen so aus, dass die Ordnung erhöht wird. Aber wie gesagt: Auch wenn Du dem Euler-Verfahren so viele Stützstellen gibst, wie das RK-Verfahren verwendet, wird es nicht genauso genau.
Gruß, Jan
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| Heilbronner99 |
Themenstarter
Forum-Newbie
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Verfasst am: 18.12.2016, 19:15
Titel:
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Achso okay.
Und warum fängt dann der Kutta trotzdem bei sehr großen Schrittweiten an zu oszillieren?
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| Jan S |
Moderator
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Verfasst am: 18.12.2016, 23:21
Titel:
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Hallo Heilbronner99,
Wieso "trotzdem"? Obwohl er bei kleinen Schrittweiten genauer ist als ein Euler-Verfahren? Das eine hat ja mit dem anderen nichts zu tun.
Gruß, Jan
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