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[OPTI_TB] NAchweis konvexe Zielfunktion |
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| tristan |
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Verfasst am: 19.06.2008, 14:51
Titel: [OPTI_TB] NAchweis konvexe Zielfunktion
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Hallo,
Wie kann ich nachweisen/überprüfen ob meine Zielfunktion konvex ist und damit das lokale=globale Minimum ist?
Zielfunktion:
SUM(ei)=SUM[yi-(x1i+x2i+x3i+x4i)]²
i=Index
Danke!
VG
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| Bijick |
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Verfasst am: 19.06.2008, 19:56
Titel:
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Hallo tristan,
ob eine Funktion konvex ist, prüft man so:
Gilt f(a*s + (1-a)*t) <= a*f(s) + (1-a)*f(t) für alle s und t aus der Definitionsmenge und alle 0<a<1 ?
Wenn ja, dann ist f konvex.
Angenommen, deine Funktion lautet
(so verstehe ich dein -sorry- undeutliches Gestammel) mit y Vektor von Parametern, bzw. Daten,
so ist die Funktion konvex, wie man sieht oder auf einer Din A4 Seite nachrechnen kann. Zuhause kann ich meine Schmierereien auch einscannen, wenn Du willst. Oder Du rechnest selbst nach. 
Herzliche Grüße
Bijick
PS: Dies ist eine Frage zur Mathematik, nicht zur Matlab-Toolbox.
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>> why
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Verschoben: 19.06.2008, 19:56 Uhr von Bijick
Von Toolboxen nach Mathematik |
| tristan |
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Verfasst am: 20.06.2008, 07:25
Titel:
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Danke für Deine Antwort.
Was bedeutet in der Formel s und t? So richtig blick ich leider noch nicht durch 
[Edit1] Ich habe grad nochmal recherchiert. Man könnte ja auch die Eigenwerte meiner Datenmatrix für die Zielfunktion berechnen.Wenn diese alle negativ sind, gibt es ein globales Minimum. Aber der Befehl eig() funktioniert ja nur für quadratische Matrizen. Meine Matrix ist 1000x5.
Wie kann ich das überprüfen?
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| Bijick |
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Verfasst am: 20.06.2008, 09:20
Titel:
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Hallo tristan,
schreib doch mal deine Funktion in der Form
f(x) = ...
auf. Für x kann man dann auch andere Variablen einsetzen, etwa s oder t. Man kann auch definieren: x = a*s + (1-a)*t. Und dann diese neue Variable in die Funktion einsetzen (siehe Anhang).
Das mit den Eigenwerten verstehe ich nicht. Kann das sein, dass es nur von den Daten abhängt und nicht von der Gestalt der approximierenden Funktion? Du musst es aber auch nicht über die Datenmatrix nachprüfen, weil ich schon nachgerechnet habe, dass es für alle y_i stimmt. 
| Beschreibung: |
| f(x), f(as+(1-a)t) und af(s)+(1-a)f(t) |
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Download |
| Dateiname: |
konvexeFunktion.pdf |
| Dateigröße: |
22.55 KB |
| Heruntergeladen: |
1246 mal |
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>> why
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| tristan |
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Verfasst am: 20.06.2008, 10:34
Titel:
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| Zitat: |
| Das mit den Eigenwerten verstehe ich nicht. Kann das sein, dass es nur von den Daten abhängt und nicht von der Gestalt der approximierenden Funktion? |
Ja hast Recht die Eigenwerte hängen nur von den Daten ab und nicht von der Zielfunktion. Daher ist Dein Ansatz besser geeignet.
Ich habe Deinen Ansatz nachgerechnet.Der Rechenweg ist mir soweit klar.
Was ich aber noch nicht verstehe ist der Ansatz:
| Zitat: |
| f(a*s + (1-a)*t) <= a*f(s) + (1-a)*f(t) für alle s und t aus der Definitionsmenge und alle 0<a<1 |
Kannst Du mir das bitte genauer erklären?
Hast Du diesen Ansatz aus einem Mathebuch , wenn ja welches?
VG
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| Bijick |
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Verfasst am: 20.06.2008, 11:23
Titel:
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Hallo tristan,
| tristan hat Folgendes geschrieben: |
Was ich aber noch nicht verstehe ist der Ansatz:
| Zitat: |
| f(a*s + (1-a)*t) <= a*f(s) + (1-a)*f(t) für alle s und t aus der Definitionsmenge und alle 0<a<1 |
Kannst Du mir das bitte genauer erklären?
Hast Du diesen Ansatz aus einem Mathebuch , wenn ja welches?
VG |
Den "Ansatz" (richtiger: Definition) habe ich aus dem Kopf hingeschrieben (nach dem Mathediplom sollte ich das auch wissen). Es steht in jedem Mathebuch mit Titel "Analysis 1", beispielsweise von Königsberger, 5. Auflage, S. 157. Oder bei Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen. Die Definition beschreibt mathematisch die Eigenschaft, dass die direkte, lineare Verbindung zweier Punkte des Graphen von f (also beispielsweise f(s) und f(t)) immer oberhalb des Graphen liegt. Anders gesagt:
1. Wähle zwei Punkte s und t aus der Definitionsmenge von f
2. Betrachte einen beliebigen Punkt auf der Verbindung dieser Punkte. Das geht, indem man eine Kombination a*s + (1-a)t mit a zwischen 0 und 1 berechnet. Wenn a = 0 ist, kommt genau t heraus, bei a = 1 kommt s heraus. Bei Werten dazwischen eben Punkte auf der Verbindungsgeraden.
Da a beliebig ist, kann man hinterher eine Aussage über alle a treffen.
3. Berechne f an dieser Stelle, also f(a*s+(1-a)*t). Dies ist ein Punkt auf dem Graphen von f.
4. Zum Vergleich berechne dann f(s) und f(t).
5. Ein Punkt auf der Verbindunggeraden zwischen f(s) und f(t) lässt sich jetzt schreiben als a*f(s) + (1-a)*f(t). Dieser Punkt liegt im Allgemeinen nicht auf dem Graphen von f. Wenn das a gleich dem a in Schritt 2 ist, so liegen die Punkte f(a*s+(1-a)*t) und a*f(s) + (1-a)*f(t) im Koordinatensystem aber genau senkrecht übereinander.
6. Welcher liegt oben? Ist f(a*s+(1-a)*t) kleiner oder gleich a*f(s) + (1-a)*f(t), so liegt der Punkt auf dem Graphen unter demjenigen auf der Verbindungsgeraden. Und da a beliebig war, bedeutet dass, dass jeder Punkt auf dem Graphen unter dem auf der Verbindungsgeraden liegt.
7. Und da s und t auch beliebig waren, gilt das für den ganzen Definitionsbereich.
Zum Beispiel bei einer Parabel, die nach oben offen ist: Egal welche zwei Punkte man verbindet, die Gerade liegt immer oberhalb ("innerhalb") des Graphen. Anders beim Sinus. Da können solche Verbindungsgeraden den Graphen kreuzen. Das bedeutet: Nach oben offene Parabeln sind konvex, Sinus ist nicht konvex.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Herzliche Grüße
Bijick
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>> why
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| tristan |
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Verfasst am: 20.06.2008, 12:00
Titel:
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Das ist genau das was ich gesucht habe.
Vielen vielen Dank an dieser Stelle an Dich!!
Du hast mir damit sehr weiter geholfen.
VG
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