Problem gekoppeltes DGL-System + erweiterter Kalmanfilter

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Febreze

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Verfasst am: 13.12.2012, 20:07 Titel: Problem gekoppeltes DGL-System + erweiterter Kalmanfilter

Hallo liebe Community,
ich habe ein Problem mit einem stark gekoppelten DGL-System der Form:

$ a_{11} \ddot{y_1} + a_{12}\ddot{y_2} = f_1(t,y_1,y_2,\dot{y_1},\dot{y_2})\\ a_{21}\ddot{y_1} + a_{22}\ddot{y_2}= f_1(t,y_1,y_2,\dot{y_1},\dot{y_2}) $

$ a_{ij}=f(t,y_1,y_2,\dot{y_1},\dot{y_2}) $

Um dieses auf die Zustandsform zu bringen habe ich folgendermaßen substituiert:

$ z_1= y_1\\ z_2= y_2\\ z_3 =\dot{y_1}\\ z_4 =\dot{y_2} $

Daraus ergibt sich die Massenmatrix wie folgt:
$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & a_{12}\\ 0 & 0 & a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dot{z_{1}} \\ \dot{z_{2}} \\ \dot{z_{3}} \\ \dot{z_{4}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_{3} \\ z_{4} \\ f_1(t,z_1,z_2,z_3,z_4) \\ f_2(t,z_1,z_2,z_3,z_4) \end{pmatrix} $

Ich habe jetzt das System in Matlab zur numerischen Lösung mit ode45 und der Massenmatrix-option programmiert. Alles funktioniert auch soweit prima. Doch nun zu meinem Problem.
Ich möchte einen erweiterten Kalman-Filter darauf anwenden und später noch einen Regler dimensionieren. Doch für die Verfahren wird immer eine andere Zustandsform vorausgesetzt. Nämlich die in allen Lehrbüchern zu findende übliche Form: $\vec{x}=F(t,\vec{x})$

Beispielhaft in der Form:

$ \begin{pmatrix} \dot{x_{1}} \\ \dot{x_{2}} \\ \dot{x_{3}} \\ \dot{x_{4}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{3} \\ x_{4} \\ f_1(y,x_1,x_2,x_3,x_4) \\ f_2(y,x_1,x_2,x_3,x_4) \end{pmatrix} $

Doch um auf diese Form zu kommen, müsste ich ja mein Gleichungssystem von oben, welches ja in impliziter Form vorliegt, explizit lösen. Also Determinante bilden und so nach $\ddot{y_1}$ und $\ddot{y_2}$ auflösen, richtig??

Allerdings komme ich dann auf ziemlich wahnsinnige Terme. Da ich für den erweiterten Kalmanfilter auch noch diverse Jacobi-Matrizen aus der Zustandsdarstellung berechnen muss, explodieren mir am Ende die Ausdrücke Sad

Ich hab das mal exemplarisch mit Mathematica durchgerechnet...
Ich hoffe ich habe einen Denkfehler, es muss doch noch eine einfachere Methode geben direkt mit meiner Form der Massenmatrix $ M(t,\vec{z})\cdot\vec{z}=F(t,\vec{z}) $ weiterzurechen.

Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar. Liebe Grüße

Harald

Forum-Meister


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Verfasst am: 13.12.2012, 20:16 Titel:

Hallo,

ohne jetzt wirklich zu verstehen, was du weiter vorhast:
Es sollte doch reichen, mit der Inversen der Massematrix zu multiplizieren, um das in diese Form zu überführen?

Grüße,
Harald

Runkelhuhn

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Verfasst am: 05.04.2013, 09:29 Titel:

Hallo Febreze,

ich hab das gleiche Problem, bist du da mittlerweile weiter bzw. hast den Vorschlag von Harald ausprobiert?

Ich möchte einen EKF über ein physikalisches Doppelpendel laufen lassen, dessen DGL's auch gekoppelt sind.

Gruß


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