PT1-Glied - Differentialgleichung lösen - Mein MATLAB Forum

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PT1-Glied - Differentialgleichung lösen

Sergo

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Verfasst am: 02.06.2013, 18:10 Titel: PT1-Glied - Differentialgleichung lösen

Hallo,

bin neu hier und habe in diesem Semester zum ersten mal Regelungstechnik.

Wollte euch fragen ob jemand diese DGL lösen kann.

T1*h`+ h(t) = Kp*σ(t)

Sollte normalerweise nicht so schwer sein, jedoch komme ich nicht auf die Lösung. Diese lautet:

Lösung: h(t) = Kp(1 - e^-t/T1)

Für die homogene Lsg hätte ich: h(t) = C*e^-t/T1

Bei der inhomogenen weiß ich nicht mehr genau wie ich da verfahren soll. Mit Variation der Konstanten komme ich nicht drauf.

Wäre super wenn jemand diese lösen könnte mit Rechenweg.

Danke im Voraus!

Harald

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Verfasst am: 02.06.2013, 18:41 Titel:

Hallo,

was ist denn $\sigma$ , und wo ist es in deiner Lösung?

Grüße,
Harald

Sergo

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Verfasst am: 02.06.2013, 19:17 Titel:

Hallo,

Es ist so, dass es sich hier um ein PT1 Übertragungsverhalten handelt.

Allgemein geschrieben: T1*xa`+ xa(t) = Kp*xe(t)
(a für Ausgangsgröße und e für Eingangsgröße)

Nun will man hieraus die Übergangsfunktion h(t) bestimmen, dazu muss die DGL gelöst werden. Dann ersetzt man xe(t) = σ(t).

Warum man das macht weiß ich nicht genau. Ich glaube es wird damit etwas zu tun haben, dass σ(t) als Einheitssprung mit der Sprunghöhe eins bezeichnet wird.

Nun heißt die Gleichung: T1*h`+ h(t) = Kp*σ(t)

Des weiteren steht nur noch die Lösung da: h(t) = Kp*(1-e^-t/T1)

Hoffe das hilft dir vielleicht weiter Confused

Sergo

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Verfasst am: 02.06.2013, 19:25 Titel:

Ich glaube dass man für σ(t) = 1 verwendet da es der Einheitssprung mit Höhe eins ist.

Die Gleichung lautet in dem Fall für σ(t) = 1:

T1*h´+ h(t) = Kp

Das ist mir jetzt erst eingefallen.

Harald

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Verfasst am: 02.06.2013, 19:32 Titel:

Hallo,

die inhomogene Lösung kann man mit einem Ansatz y = c0 finden. Einsetzen und auflösen, dann hast du c0.

Dann musst du noch eine Anfangsbedingung haben, vermutlich hier y(0) = 0. Auch das einsetzen, dann kannst du C aus deiner homogenen Lösung bestimmen, fertig.

Grüße,
Harald

Sergo

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Verfasst am: 02.06.2013, 19:57 Titel:

Danke für die Hilfe! Ich werde es mal mit diesem Ansatz versuchen.

Gruß
Sergo

Sergo

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Verfasst am: 09.06.2013, 22:34 Titel:

Hallo,

Wollte Bescheid geben, dass ich es so probiert habe mit Anfangsbedingung h(0) = 0.
Es kommt die gleiche Lösung raus und somit richtig.

Nochmal Danke für die Hilfe

Gast


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Verfasst am: 25.11.2013, 10:06 Titel:

Hallo

Interessanter Beitrag. Habe gerade eine ähnliche Aufgabe vor mir und sehe den Weg zur Lösung noch nicht so ganz.

Folgende Schritte aus den Beiträgen sind für mich nicht nachvollziehbar:

- wo bleibt Kp in der angegebenen homogenen Lösung ( h(t) = C*e^-t/T1 )?

- die Ausgangsform für die homogene Lösung wäre doch h(t)/Kp + T*h'(t)/Kp =0 , oder sehe ich das falsch?

Kann mir da jemand weiterhelfen? Wäre super.

arte2963

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Verfasst am: 25.11.2013, 11:50 Titel:

Die regelungstechnische Lösung für solch eine Aufgabenstellung wird normalerweise mit Hilfe von Laplace- Korrespondenztabellen (Anhang).
Folgende Rechenschritte sind dafür nötig:

1)Aufstellen der regelungstechnischen Normalfunktion (RTN) im Zeitbereich:
$T1*xa'(t) + xa(t) = Kp*xe(t)$

2)Laplace-Transformation in den Frequenzbereich mittels d/dt = s:
$T1*s*xa(s) + xa(s) = Kp*xe(s)$

3)Umformung nach Ausgansfunktion Frequenzbereich:
$xa(s) =\frac{Kp}{1+T1*s} *xe(s)$

4)Eingangsfunktion definieren und einsetzten (Ein Einheitssprung lautet im Zeitbereich xe(t)=1 und im Frequenzbereich xe(s)=1/s)
$xa(s)= \frac{Kp}{s(1+T1\cdot s)}$

5)Mittles Laplace Korrespondenztabelle die Laplace Rücktransformation vornehmen:
$xa(s)= \frac{Kp}{s(1+T1\cdot s)}$ ---> $xa(t)= Kp*(1-e^{-t/T1})$

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Gast


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Verfasst am: 25.11.2013, 22:48 Titel:

Wow, hätte nicht erwartet so schnell eine Antwort zu kriegen. Besten Dank!

Nun der Weg mittels Laplace-Transformation ist mir bekannt und ist für die meisten Anwendungen in der RT sicher der geeignetste.

Ich möchte jedoch durch Lösen der DGL zum Ergebnis kommen und da sehe ich immer noch nicht ganz durch.

Folgendes habe ich soweit gemacht:

Die allg. Lösung einer DGL setzt sich ja aus der allg. Lösung der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen zusammen.

DGL: K*xe(t) = xa(t) + T*xa'(t)

1) Zuerst wird die homogene Lösung gesucht. Dazu umgestellt und die Eingangsgrösse xe(t) auf 0 gesetzt:

xa'(t) = -xa(t)/T

2) Einen Lösungsansatz gewählt und die allg. Lösung der homogenen DGL erhalten:

xa(t) = k * e^(a*t) , wobei k eine Konstante und a = -1/T darstellt.

3) Nun wird die partikuläre Lösung der inhomogenen DGL gesucht. Dazu möchte ich die Methode der Konstanten-Variation verwenden, sprich die zeitliche Abhängigkeit kommt hinzu:

xa(t) = k(t) * e^(a*t)

4) Nach t abgeleitet (unter Anwendung der Produktregel) und in die ursprüngliche DGL eingesetzt erhält man:

a * e^(a*t) * k(t) + e^(a*t) * k' = a * e^(a*t) * k(t) + K*xe(t)

5) Vereinfacht

k' = e^-(a*t) * K*xe(t)

6) k' über [0..t] integrieren? Oder wie weiter?

arte2963

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Verfasst am: 26.11.2013, 08:02 Titel:

achso verstehe dein Problem.
Bis Schritt 3 ist mir alles klar ich steig mal bei Schritt 4 ein

4) xa nach t ableiten:

$xa'(t) = k'(t)*e^{at} + k(t)*a*e^{at}$

5) Einsetzen von xa und xa' in ursprüngliche DGL

$k'(t)*e^{at} + k(t)*a*e^{at} - a*k(t)*e^{at} = -K*a$ ----> $k'(t) = -K*a*e^{-at}$

6) Nun wird k'(t) durch unbestimmte Integration bestimmt (nicht 0...t):

$k(t) = K*e^{-at} + C$

7) Allgemeines k(t) in homogne Lösung setzten liefert allgemeine Lösung der DGL:

$xa(t) = (K*e^{-at} + C)*e^{at}$
8 ) Bestimmung der Integrationskonstante C mithilfe der Anfangsbed xa(0)=0:

---> C = -K

9) Einsetzen von C liefert spezielle Lösung deiner DGL:

----> $xa(t) = K*(1-e^{at})$ ;mit a=-1/T

Der Knackpunk war also die unbestimmte Integration von k(t) die du noch machen musst und ich glaube du hast k' im Schritt 5 nicht ganz korrekt bestimmt. Eventuell nochmal nachrechnen.
Ich würde dir auch empfehlen immer im Laplace Bereich zu arbeiten, das geht viel einfacher, schneller und sicherer wie du gesehen hast.

Gast


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Verfasst am: 26.11.2013, 17:23 Titel:

Besten Dank für Deine Antwort.

Kann man die Eingangsgrösse xe(t) in Deinem Schritt 5 denn einfach weglassen? Komme auch mit nachrechnen wieder auf das selbe Resultat im Schritt 5.

Ich sehe ein, dass dies nicht gerade ein effizientes Verfahren ist...werde wohl künftig öfters im Laplace-Bereich arbeiten.

arte2963

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Verfasst am: 27.11.2013, 07:31 Titel:

Nein weggelassen habe ich den Eingang nicht. Ich habe den Einheitssprung xe(t) = 1 eingesetzt.
Würdest du dein System beispielsweise mit einer Rampe beaufschlagen, dann müsstest du für den Eingang xe(t)=t einsetzten, was deine Ausgangsfunktion natürlich verändern würde.
In der RT ist der Einheitsspring (auch Sigma genannt) aber der häufigst eingesetzte Eingang.

Im Schritt 4 hast du beim Einsetzen den Faktor -a bzw +1/T im Term mit Kp vergessen. Der ist wahrscheinlich beim Umstellen der DGL oder beim Substituieren von -1/T durch a untergegangen.

Viel Glück!


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