Punkt in Pyramide: unterbestimmtes LGS

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crysel

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Verfasst am: 16.09.2010, 11:47 Titel: Punkt in Pyramide: unterbestimmtes LGS

Hi,

ich muss nachweisen können, ob ein Punkt Teil einer Pyramide (rechteckige Grundfläche) ist. Die Grundfläche wird von A,B,C,D aufgespannt, die Spitze ist S. Im Folgenden sind das die Vektoren von 0 bis zu dem jeweiligen Punkt.
Ich muss also folgendes LGS lösen, wobei der Punkt (x,y,z) gegeben ist und nur die Parameter a,b,c,d,s fehlen:

(x,y,z) = a*A + b*B + c*C + d*D + s*S

Dies liefert mir 3 Gleichungen für 5 Unbekannte. Eine zusätzliche Gleichung ist:
a + b +c + d + s = 1 (damit der Punkt in der Pyramide liegt).

Somit also 4 Gleichungen für 5 Unbekannte. Eine weitere Bedingung ist, dass alle Parameter a...s > 0 sind. Dies bekomme ich aber nicht als 5. Gleichung entsprechend eingebaut, sodass es bei einem unterbestimmten LGS bleibt.

Code:

% Pyramide aufstellen

A = [0 0 0];
B = [10 0 0];
C = [0 10 0];
D = [10 10 0];
S = [5 5 10];

% Test-Punkt

X = [5 5 5 1];

% Matrix bilden
M = [A' B' C' D' S'];
M(4,:) = [1 1 1 1 1];

% Lösen mit Backslash-Operator

L = M\X'

Funktion ohne Link?

Das Problem ist, dass mit der Backslash-Operator irgendein Ergebnis liefert, das die 4 Gleichungen erfüllt, aber häufig nicht die letzte Bedingung (a...s > 0), also er sagt mir quasi, dass der Punkt nicht in der Pyramide liegt, obwohl er drin liegt!

Ich bräuchte entweder eine 5. Gleichung, um ein vollwertiges LGS zu bekommen oder eine andere Methode zur Berechnung der Parameter, die die genannte Bedingung in irgendeiner Weise erfüllt.

Thomas84

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Verfasst am: 17.09.2010, 06:09 Titel:

Entweder du unterteilst die Pyramide in 2 Tetraeder und schaust ob P in einem von den beiden ist, oder du rechnest symbolisch, oder du verwendest lsqnonneg oder fmincon.
Ich glaub die erste Variante ist die einfachste.

crysel

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Verfasst am: 17.09.2010, 09:06 Titel:

Vielen Dank! Hätte ich eigentlich auch selbst drauf kommen können. Very Happy

Die erste Methode mit 2 Tetraedern scheint zu funktionieren (nach ausgiebig getesteten Punkten). Very Happy


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