Ritz Verfahren für ein statisch unbestimmtes System

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thalia27

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Verfasst am: 05.07.2020, 14:09 Titel: Ritz Verfahren für ein statisch unbestimmtes System

Hallo zusammen,

Ich habe jetzt versucht, die Verschiebung und der Biegewinkel zu berechnen. Das lief anscheinend nicht problematisch, weil die Verläufe von den Diagrammen stimmen.
Danach habe ich die errechnete Lösung (angenähert per Ritz Verfahren) mit der exakten Lösung verglichen. Hier habe ich bei der Verschiebung eine sehr kleine Abweichung und wenn ich n-Wert dann erhöhen, ist die Abweichung sogar größer geworden (das müsste eigentlich kleiner werden).
Außerdem habe ich die Ergebnisse von Biegewinkel auch verglichen, hier habe ich eine sehr große Abweichung Crying or Very sad

. Kann jemand vielleicht mir sagen, wo der Fehler ist ? Smile

Code:

function Gesamtergebnis
%% Zweite Ableitung von g
syms x

% Eingabe Anzahl an Elementen
n = input('Eingabe der Anzahl an Elementen: ');

% Funktion
g(1) = 1-3*x^2+2*x^3;
g(2) = x-2*x^2+x^3;
g(3) = 3*x^2-2*x^3;
g(4) = -1*x^2+x^3;

% 1. Ableitung
g1(1)=diff(g(1),x);
g1(2)=diff(g(2),x);
g1(3)=diff(g(3),x);
g1(4)=diff(g(4),x);

% 2. Ableitung
g2(1)=diff(g1(1),x);
g2(2)=diff(g1(2),x);
g2(3)=diff(g1(3),x);
g2(4)=diff(g1(4),x);

%% Steifigkeitsmatrix fÃ¼r ein Element

for i=1:4
for j=1:4
k(i,j) = int(g2(i) * g2(j),x,0,1);
end
end

disp('Elementsteifigkeitsmatrix')
disp(k)

%% Lastvektor fÃ¼r ein Element

syms q0
q1=q0;
f=zeros(4,1);

for u=1:4
f(u) = int ((q1/q0 - x) * g(u), x, 0, 1);
end

disp('Lastvektor')
disp(f)

%% Gesamtsteifigkeitsmatrix

m = (n+1)*2;
K=zeros(m,m);

for i=1:n
for u=1+(i-1)*2:4+(i-1)*2
for v=1+(i-1)*2:4+(i-1)*2
K(u,v) = K(u,v) + k(u-(i-1)*2,v-(i-1)*2);
end
end
end

disp('Gesamtsteifigkeitsmatrix')
disp (K)

%% Berechnung des Gesamtlastvektors

syms q0
q1=q0;
F=zeros(m,1);
for i=1:n
for u=1+(i-1)*2:4+(i-1)*2
F(u) = F(u) + int ((q1/q0 - x/n) * g(u-(i-1)*2), x, 0, 1);
end
q1=q1-q0/n;
end

disp('Gesamtlastvektor');
disp (F)

%% Randbedingungen
% w Anfang=0
% w Ende=0
% phi Ende=0

for i=1:m
%erste Zeile und Spalte Null damit w Anfang Null ist
K(1,i) = 0;
K(i,1) = 0;
%vorletzte Zeile und Spalte damit phi Ende Null ist
K(m-1,i) = 0;
K(i,m-1) = 0;
%letzte Zeile und Spalte damit w Ende Null ist
K(m,i) = 0;
K(i,m) = 0;
end

K(1,1)=1;
K(m-1,m-1)=1;
K(m,m)= 1;
F(1)=0;
F(m-1)=0;
F(m)= 0;

disp('Koeffizientenmatrix');
disp (K);
disp('Lastvektor');
disp (F);

%% LÃ¶sen des Gleichungssystems

x= K\-F;

% Durch das VerhÃ¤ltnis der Elemente teilen
for i=1:m
x(i) =x(i)/n^4;
end

disp('LÃ¶sungsvektor');
disp(x);

w = x (1:2:length(x)); % Spacing 2, weil nur Werte fÃ¼r w benÃ¶tigt werden
phi = x (2:2:length(x)); % Spacing 2, weil nur Werte fÃ¼r phi benÃ¶tigt werden

%% exakte LÃ¶sung
xex=0;
Iy=1;
q=1;
E=1;
l=1;

wex=zeros(m/2,1); %m/2 Zeilen und eine Spalte

for i=1:m/2 %jede zweite Zeile fÃ¼r w
wex(i) = -((q * l^4) / (240 * E * Iy)) * ( 3 * (xex/l) - 11 * (xex/l)^3 + 10 * (xex/l)^4 - 2 * (xex/l)^5);
xex=i/n;
end

% Berechnung der maximalen Abweichung der angenÃ¤herten und exakten LÃ¶sung
% Quelle Dubbel: max. Verschiebung bei x=0,4025 * l

xex=0
phiex=zeros(m/2,1); %m/2 Zeilen und eine Spalte

for i=1:m/2 %jede zweite Zeile fÃ¼r phi
phiex(i) = -((q * l^4) / (240 * E * Iy)) * (3/l - 33 * xex^2/l^3 + 40 * xex^3/l^4 - 10 * xex^4/l^5);
xex=i/n;
end

%% Abweichung berechnen
format long;
c= 0.4025 * n;
xmax=round(c); % damit keine Dezimalzahl raus kommt
wexmax = wex(xmax);
wmax = w(xmax);

if wexmax<=wmax
Abw=(1-(wexmax\wmax))*100;
else if wexmax>wmax
Abw=(1-(wmax\wexmax))*100;
end
end

disp('Abweichung in Prozent');
disp(Abw);

%% Plotten

p=0:n; % Anzahl Punkte im Diagramm

%berechnete Biegewinkel und Verschiebung
plot(p,w,'-or',p,phi,'-ob');
xlabel('Stab unterteilt in n Elemente');
ylabel('Verschiebung/Biegewinkel')
legend('Verschiebung','Biegewinkel');

%exakte und angenÃ¤herte LÃ¶sung der Verschiebung
% plot(p,w,'-or',p,wex,'-ob')
% title('Vergleich von angenÃ¤herter und exakter LÃ¶sung')
% xlabel('Stab unterteilt in n Elemente')
% ylabel('Verschiebung')
% legend('angenÃ¤herte LÃ¶sung','exakte LÃ¶sung')

%exakte und angenÃ¤herte LÃ¶sung des Biegewinkels
plot(p,phi,'-or',p,phiex,'-ob')
title('Vergleich von angenÃ¤herter und exakter LÃ¶sung')
xlabel('Stab unterteilt in n Elemente')
ylabel('Biegewinkel')
legend('angenÃ¤herte LÃ¶sung','exakte LÃ¶sung')

Funktion ohne Link?

Danke schön
Grüße,
Thalia

T16

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Verfasst am: 07.07.2020, 10:05 Titel:

Kann es sein, dass Verdrehungen durch einen anderen Faktor wieder in dimensionsbehaftete Größen umgerechnet werden als die Verschiebungen? Aktuell rechnest du hier

Code:

for i=1:m
x(i) =x(i)/n^4;
end

Funktion ohne Link?

sowohl Verdrehung als auch Verschiebung zurück. Wenn du das ^4 durch ^3 austauschst, passen deine Verdrehungen (aber die Verschiebungen natürlich nicht mehr). Da Verdrehung und Verschiebung andere Einheiten haben, werden vmtl. auch andere Faktoren bei der Redimensionierung zum Einsatz kommen.


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