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Schnittfläche von 2 Kreissektoren bestimmen
 

KaroLin
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     Beitrag Verfasst am: 02.12.2011, 11:40     Titel: Schnittfläche von 2 Kreissektoren bestimmen
  Antworten mit Zitat      
Hallo zusammen
ich würde gerne die Schnittfläche von 2 Kreissektoren berechnen
Der erste lautet
x1 = -3.44+100∙cos⁡(φ)
y1 = 2.71+100∙sin⁡(φ)
Mit -114.06°≤ φ ≤57.58°
und der 2.
x2 = 7.54+100∙cos⁡(φ)
y2 = 42.16+100∙sin⁡(φ)
Mit 25°≤ φ ≤-86°
ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie man das machen kann
Kann mir vll jemand helfen
Danke
Gürße
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Harald
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     Beitrag Verfasst am: 02.12.2011, 13:52     Titel:
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Hallo,

vielleicht nicht die beste Möglichkeit, aber immerhin eine:

1. Denke dir ein Gebiet, das das gewünschte Gebiet enthält, z.B. [0, 100] x [-100,100], und dessen Fläche du berechnen kannst.
2. Erzeuge viele (z.B. 1 Mio) gleichverteilte Punkte in diesem Gebiet. Zähle die Punkte, die sich im gewünschten Gebiet befinden (Radius und Winkel für beide Sektoren überprüfen).
3. gewünschte Fläche = Anzahl guter Punkte / Gesamtanzahl Punkte * Fläche Gebiet.

Grüße,
Harald
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     Beitrag Verfasst am: 02.12.2011, 20:31     Titel:
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Das meiste ist hier Vordenke, Matlab ist hierbei nixweiter als ein besserer Taschenrechner. Also ich probiere mal einen Vorschlag. Die Schnittmengen zweier Körper erhält man soweit ich weiß immer dann, wenn man deren Funktionen gleichsetzt. Kreisausschnitte sind logischerweise Bestandteile eines Kreises, wovon du zwei hast. Stellen wir die Kreisgleichungen erst einmal auf.

r1^{2} = (x - x_{M1})^{2} + (y - y_{M1})^{2}

r2^{2} = (x - x_{M2})^{2} + (y - y_{M2})^{2}

Diese musst du beide nach y1 bzw y2 umstellen und y1 = y2 gleich setzen.
Gesucht ist nun die x, wo die beiden das Kreise das gleiche y haben.

Falls du die Symbolic Math Toolbix nutzen kannst, dann solltest du es jetzt tun, denn ich habs probiert und es wird eine haarige Sache inclusive Wurzelfunktionen.

Vll gibt es ja auch einfachere Lösungen.

Wie die jeweiligen Paramter der beiden Gleichungen zu ermitteln sind, findest du -> http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis.


Grüße Scriptor

PS: Der neue MathEditor is ja geil. Seit wann is der denn hier eingestrickt? War echt lange nicht mehr hier. Wink
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Harald
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     Beitrag Verfasst am: 02.12.2011, 22:50     Titel:
  Antworten mit Zitat      
... und dann kann man die Fläche als Integral berechnen. Ist natürlich auch ne Idee. Vor allem kommt man so an ein exaktes Ergebnis, sofern man händisch integriert oder symbolisch rechnet.

Grüße,
Harald
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     Beitrag Verfasst am: 03.12.2011, 16:50     Titel:
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Hallo Harald,

Es geht viel einfacher. An sich sollte man einfach mal das Ding plotten und dann mal sehen wie das aussieht.
Code:

clear all
close all
clc
%%%%%% erstmal plotten %%%%%%%%%%%
x= -120:120;
y1 = real(2.71 +sqrt(100^2 -(x + 3.44).^2));
minus_y1 = real(2.71 -sqrt(100^2 -(x + 3.44).^2));

y2 = real(42.16 +sqrt(100^2 -(x - 7.54).^2));
minus_y2 = real(42.16 -sqrt(100^2 -(x - 7.54).^2));
hold on
plot(x,y1)
plot(x,minus_y1)
plot(x,y2)
plot(x,minus_y2)
hold off
grid on
clear all
clc
 


Man kann recht gut erkennen, man nur eine recht kleine Fläche betrachten muss. Ich hatte erst die Befürchtung, das wir mit Kreisintegralen ranmüssen, weil die Kreisfunktion neben den Kreisausschnittsrändern ebenfalls die gesuchte Flche umrahmen aber wie man erkennen kann wird sie nur durch vier lineare Funktionen der linearen Sektorränder begrenzt.

Unten habe ich trotzdem mal spaßenshalber die Schnittpunkte der Kreise ermittelt.

Code:

%%%%%% Stellensuche %%%%%%%%%%%%%%%
syms  x
y1  = 2.71 + sqrt(100^2 -(x + 3.44).^2);
y1_ = 2.71 - sqrt(100^2 -(x + 3.44).^2);

y2  = 42.16 + sqrt(100^2 -(x - 7.54).^2);
y2_ = 42.16 - sqrt(100^2 -(x - 7.54).^2);

y  = y1  - y2 ;
y_ = y1_ - y2_;

x0  = double(solve(y ))
x0_ = double(solve(y_))

subs(y1 ,x,x0 )
subs(y1_,x,x0_)


Typische Verwirrtaktik des Profs.
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