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Signalverarbeitung - Autokorrelationssequenz Sinussignal |
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| Schafel |
Forum-Newbie
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Beiträge: 1
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Anmeldedatum: 20.10.18
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Verfasst am: 20.10.2018, 20:09
Titel: Signalverarbeitung - Autokorrelationssequenz Sinussignal
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Schönen guten Tag zusammen.
Ich habe für die Uni eine Aufgabe zu lösen und zu präsentieren, bei der
ich einfach nicht weiter komme. Zunächst gebe ich die Aufgabenstellung:
Ein Signal mit überlagertem weißem Rauschen der Form
![<br />
x[n]=A\cos(\omega_0n+\theta)+e[n]
<br />](/math/x%5Bn%5D%3DA%5Ccos%28%5Comega_0n%2B%5Ctheta%29%2Be%5Bn%5D.html "<br />
x[n]=A\cos(\omega_0n+\theta)+e[n]
<br />")
mit
A∈R,ω∈R.
Die Phasenverschiebung theta ist eine gleichverteilte Zufallsvariable im
Bereich zwischen 0 und 2*\pi. Weiterhin wird angenommen, dass e[n] ein
weißes Rauschen mit dem Mittelwert 0 und der Varianz (sigma_e)² ist.
a) Zeigen Sie, dass mit diesen Annahmen die Autokorrelationssequenz von
x[n]
![<br />
r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=\frac{A^{2} \pi } {2} \cos(\omega_0m)+\sigma_e^{2}\delta[m]
<br />](/math/r_x%5Bm%5D%3DE%5C%7Bx%5Bn%5Dx%5Bm%2Bn%5D%5C%7D%3D%5Cfrac%7BA%5E%7B2%7D%20%5Cpi%20%7D%20%7B2%7D%20%5Ccos%28%5Comega_0m%29%2B%5Csigma_e%5E%7B2%7D%5Cdelta%5Bm%5D.html "<br />
r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=\frac{A^{2} \pi } {2} \cos(\omega_0m)+\sigma_e^{2}\delta[m]
<br />")
ist.
b) Zeigen Sie, dass mit den Ergebnissen aus a) das
Leistungsdichtespektrum von x[n] im Frequenzbereich für eine Periode
![<br />
P_x(\omega)= \frac {A^{2} \pi } {2} [\delta ( \omega - \omega_0 ) + \delta ( \omega + \omega_0 ) ] + \sigma_e^{2}, |\omega| \leq \pi
<br />](/math/P_x%28%5Comega%29%3D%20%5Cfrac%20%7BA%5E%7B2%7D%20%5Cpi%20%7D%20%7B2%7D%20%5B%5Cdelta%20%28%20%5Comega%20-%20%5Comega_0%20%29%20%2B%20%5Cdelta%20%28%20%5Comega%20%2B%20%5Comega_0%20%29%20%5D%20%2B%20%5Csigma_e%5E%7B2%7D%2C%20%7C%5Comega%7C%20%5Cleq%20%5Cpi.html "<br />
P_x(\omega)= \frac {A^{2} \pi } {2} [\delta ( \omega - \omega_0 ) + \delta ( \omega + \omega_0 ) ] + \sigma_e^{2}, |\omega| \leq \pi
<br />")
ist.
Ich beginne damit, dass ich für den Erwartungswert einsetze:
![<br />
r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=E\{A^{2}cos(\omega_0(n+m)+\theta)cos(\omega_0n+\theta)\}
<br />](/math/r_x%5Bm%5D%3DE%5C%7Bx%5Bn%5Dx%5Bm%2Bn%5D%5C%7D%3DE%5C%7BA%5E%7B2%7Dcos%28%5Comega_0%28n%2Bm%29%2B%5Ctheta%29cos%28%5Comega_0n%2B%5Ctheta%29%5C%7D.html "<br />
r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=E\{A^{2}cos(\omega_0(n+m)+\theta)cos(\omega_0n+\theta)\}
<br />")
Nun hab ich das erste Problem. Ich kann entweder den Erwartungswert als
Mittelwert des Signals berechnen:
Hier bin ich mir vor allem mit dem Operator dtheta unsicher. Muss ich
hier überhaupt über theta integrieren?
Ich könnte den Erwartungswert auch über die
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bestimmen mit alpha = n:
Da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Cosinusfunktion aber
gleich 0 ist, komme ich damit ja auch nicht weiter.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben
könnte.
Viele Grüße und vielen Dank,
Bastian
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