Wie arbeitet Matlab?, Rundungsfehler

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Gigastorm

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Verfasst am: 17.10.2015, 15:26 Titel: Wie arbeitet Matlab?, Rundungsfehler

Hallo,
Gebe ich in Matlab den code

Code:

%% Ausloeschung
display('Ausloeschung')
a = (1-3*(4/3-1))*1e+16

Funktion ohne Link?

Berechnet Matlab a=2.2204.
Wie kommt Matlab auf genau den Wert?
Für die Darstellung einer Zahl hat Matlab nur eine feste endliche Anzahl von Stellen zur Verfügung.
4/3=1.33333...3
1.333....3-1=0.333....3
Durch die Multiplikation mit 3 wird doch dann die 9 an der letzten Stelle auf 0 gerundet und es müsste 1,00.....0 entstehen?
Wie kommt Matlab also genau auf diese zahl?

Harald

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Verfasst am: 17.10.2015, 15:51 Titel:

Hallo,

der Unterschied ist: du denkst dezimal, MATLAB denkt binär.
2.204e-16 entspricht 2^(-52). Man kann es so interpretieren, dass dies das Bit der Abweichung ist.
https://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision

Dasselbe Ergebnis dürftest du übrigens auch in anderen Sprachen bekommen, wenn mit Doubles gerechnet wird.

Grüße,
Harald

Gigastorm

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Verfasst am: 17.10.2015, 16:57 Titel:

Hallo,
Danke für die Antwort.
1)
Ich muss das "Phänomen", dass hier nicht 0 rauskommt nämlich in einer Aufgabe argumentieren können. Reicht diese Erklärung?:

In Matlab steht für die Darstellung einer Zahl nur eine fixe Anzahl von Stellen zur Verfügung. Insgesamt in einem 64-Bit system gibt es nur 52 Bit(Stellen) für die Mantisse.
Jede weitere Operation in Matlab gibt anstelle der exakten Number die nächstgelegene Maschienenzahl, wobei die Genauigkeit mit:
$a \circ^r b = (a \circ b) (1+ \epsilon)$ mit $|\epsilon|<eps$
wobei $\circ^r$ die Verknüpfung in Matlab darstellt
2.204e-16=2.204*10^(-16),entspricht 2^(-52), dies kann als Bit der Abweichung in der Mantisse interpretiert werden.
Aber der engültige Fehler ist ja viel größer durch die Multiplikation mit 10^(-16)??

2)
Wie ist das bei:

Code:

%% sine
display('sine')
s = sqrt(1e-16 + 1) - 1
%% Runden von 0.1
display('Rundungsfehler von 0.1')
b = 0;
for i = 1:10
b = b + 0.1;b
end
b == 1

Funktion ohne Link?

Matlab liefert s=0 und $b\not= 1$ .
1e-16 kann ja Matlab noch darstellen. Aber wieso wird 1e-16 +1 dann zu 1?
Für die For-Schleife liefert Matlab auch die zu erwartenden Ergebnisse:
b =
0.1000
b =
0.2000
b =
0.3000
b =
0.4000
b =
0.5000
b =
0.6000
b =
0.7000
b =
0.8000
b =
0.9000
b =
1.0000
Aber wieso entspricht b nicht 1? Matlab muss doch hier nichts runden?

Winkow

Moderator


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Verfasst am: 17.10.2015, 17:11 Titel:

weil einige zahlen keine darstellung in binärform haben. 0.1 glaube ich gehört dazu
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richtig Fragen

Gigastorm

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Verfasst am: 17.10.2015, 18:07 Titel:

Hallo,
Ah ich verstehe,0,1 hat eine nicht abbrechende periodische Darstellung im Binärsystem und die muss gerundet werden in Matlab. $(0.1)_{10}=(0.0001100110011...)_2=(1.1001100110011..)_2 * 2^4$ Danke
Und wie ist das mit s=0 im anderen Bsp? Wieso ist 1e-16 + 1=1 ? 1e-16 kann doch noch von Matlab dargestellt werden?

Liebe Grüße

Jan S

Moderator


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Verfasst am: 17.10.2015, 18:17 Titel:

Hallo Gigastorm,

Zitat:

Wieso ist 1e-16 + 1=1?

Matlab verwendet IEEE754 Doubles (siehe den Link von Harald). Wenn für die Mantisse nur 52 Bits zur Verfügung stehen, wird bei 1 + 1e-16 die kleinere Zahl nicht mehr speicherbar. Das gleiche gilt für 1e16 + 1.

Der gleiche Effekt tritt mit Dezimalzahlen auf: Wenn man nur 3 Stellen speichern kann, ist 100 * 1e1 + 1 das gleiche wie 100 * 1e1.

Gruß, Jan

Gigastorm

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Verfasst am: 18.10.2015, 08:01 Titel:

Vielen Dank für die Erklärung.
Wenn ich mir z.B anschaue:

Code:

b = 1e-16 + 1 - 1e-16;
c = 1e-16 - 1e-16 + 1;
b == c

Funktion ohne Link?

Dann sind das für Matlab zwei verschiedene Nummern. Wieso wenn er sowieso nicht den Spiecherplatz hat um die kleiner Nummer darzustellen bei 1e-16 + 1=1 und 1-1e-16=1?
Liebe Grüße

Harald

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Verfasst am: 18.10.2015, 09:06 Titel:

Hallo,

ich verstehe die Frage nicht. Zur Erklärung der unterschiedlichen Ergebnisse:
es wird von links nach rechts gerechnet, also

b = (1e-16 + 1) - 1e-16 = 1 - 1e-16 < 1
c = (1e-16 - 1e-16) + 1 = 1

Bleibt höchstens noch die Frage, warum 1 + 1e-16 nicht von 1 unterschieden werden kann, 1 - 1e-16 aber schon. Das liegt an der Gleitkommadarstellung:

Code:

format hex
1 + 2e-16
1 - 2e-16
format shortg

Funktion ohne Link?

Grüße,
Harald

Gigastorm

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Verfasst am: 18.10.2015, 14:00 Titel:

Hallo,
Danke für deine Antwort. Entschuldige, ich hatte mich schlecht ausgedrückt. Genau das war die Frage, wieso Matlab nicht zwischen 1 + 1e-16 und 1 unterscheiden kann aber zwischen 1 und 1 - 1e-16 schon.
Ich habe deinen Code mir angesehen. Man sieht ja auch bei der Dezimaldarstellung:
$1- 10^{-16}= \frac{10^{16}-1}{10^{16}}=(0.9999999999999999)_{10}$ und $10^{-16} +1= (1.0000000000000001)_{10}$
Die Kapazität (Mantisse, Exponent) reicht doch aus um $10^{-16}$ abgeschnitten in Binärform darzustellen, dafür nutzt er keine Stellern der Mantisse sondern nur den Exponenten in der Gleitkommadarstellung. (Außer die erste, vor dem Komma die ist aber immer als 1 eingespeichert)

Um $10^{-16} +1$ darzustellen benötigt man zu viele Stellen in der Mantisse so, das die Zahl in Binärdarstellung so abgeschnitten wird, dass nur doch die 1.000..00 überbleibt: $(1.0000000000000001)_{10}=(1,000000000000000000000000000000000000000000000000000001...)_2$

Aber wird bei $(0.9999999999999999)_{10}=(0.11111111111......)_2$ (viele Einser nach dem Komma aber irgendwan kommt auch immerwieder eine 0 vor) nicht auch gerundet, wodurch $(1,0000000....)_2$ entsteht?

Liebe Grüße

Harald

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Verfasst am: 19.10.2015, 08:33 Titel:

Hallo,

ja, aber aufgrund der unterschiedlichen Exponentialdarstellung sind gleich weit entfernte Zahlen < 1 noch unterscheidbar, > 1 nicht mehr.

Grüße,
Harald

Gigastorm

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Verfasst am: 19.10.2015, 20:49 Titel:

Wie wird eigentlich festgelegt auf welche Exponentialdarstellung gerechnet wird? Auf die der ersten oder zweiten Ziffer? Oder normalisiert der PC die Zahlen vorher?

Liebe Grüße

Harald

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Verfasst am: 19.10.2015, 21:41 Titel:

Hallo,

Zitat:

Wie wird eigentlich festgelegt auf welche Exponentialdarstellung gerechnet wird?

Nach dem bereits mal verlinkten IEEE 754-Standard.

Zitat:

Auf die der ersten oder zweiten Ziffer? Oder normalisiert der PC die Zahlen vorher?

Ich verstehe keine dieser Fragen.

Grüße,
Harald

Jan S

Moderator


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Verfasst am: 20.10.2015, 09:22 Titel:

Hallo Gigastorm,

Ich klinke mich aus der Diskussion aus, da sie nur indirekt mit Matlab zu tun hat. Die IEEE754-Definitionen sind umfangreich und kompliziert, werden aber eindeutig an anderer Stelle im Internet umfassen erklärt.

Viel Erfolg, Jan


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