Zustandsregelung für nichtlineares System

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kmm

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Verfasst am: 16.08.2010, 23:23 Titel: Zustandsregelung für nichtlineares System

hat jemand Ideen oder Erfahrungen zum Entwurf einer Zustandsregelung für
nichtlineares System?
für das lineare System findet man in vielen Literaturen,aber für
nichtlineares System habe noch keine Idee...

ein nichtlineares system wie folgt:

dx1/dt=a1*x1+b1*x2*x3+c1
dx2/dt=a2*x1*x3+b2*x2+c2*x3+d1
dx3/dt=a3*x2+b3*x1*x2

a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,d1 sind Konstanten.
muss man zuerst das System linearisieren?

kann jemand mir helfen?

danke!
MfG!

vega1013

Forum-Century


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Verfasst am: 25.08.2010, 17:07 Titel:

Hallo,

und wie ist der Stand der Dinge? Gibts bereits erste Ansätze?
Ich selber habe zwar keine Erfahrungen bzgl. nichtlinearer Zustandsregler, finde die Thematik aber sehr interessant.

Habe bei einer Recherche eine kleine Übersicht zur nichtlinearen Regelung gefunden:
http://www.rst.e-technik.uni-dortmu.....chtlineare_Regelung_4.pdf
Vielleicht hilft dir das ja schon ein Stück weiter. Erinnere mich auch an ein Beispiel, bei der die Methode "exakte Linearisierung" angewandt wurde. Müsste bei Bedarf nachsehen wo genau das war... Wenn ich mich recht entsinne, müssen allerdings zu deinem System noch die Eingangsmatrix sowie die Ausgangsmatrix bekannt sein, um das Verfahren anzuwenden.

Vielleicht ließe sich ja hier ein solches Beispiel durchexerzieren...

Mfg Vega

kUser

Gast


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Verfasst am: 10.09.2010, 23:32 Titel:

Wo sind den in deinem System die Eingänge?
Was ist das Regelziel?

NoVa

Gast


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Verfasst am: 28.06.2011, 14:46 Titel:

Gibt es schon Lösungsansätze?
Wäre selbst an sowas interessiert.

LG

Georg J

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Verfasst am: 28.06.2011, 17:59 Titel:

Ich sehe gerade, dass das Thema schon seit langem läuft, aber ich gebe trotzdem noch meinen Senf dazu Very Happy

In dem System vermisse auch ich die Regelungseingänge und die Definition des zu regelnden Systemausgangs (Ausgangsmatrix).

Ich verwende, wenn möglich, gerne State-Feedback-Control. Dies ist in dem PDF erwähnt. Dabei wird der Zusammenhang zwischen Systemeingang und Systemausgang linearisiert. Wichtig ist, dass man bei der Methode nachweisst, dass die Nulldynamik (das ist der nicht geregelte Teil des Systems) asympthotisch stabil ist, z.B. mit Hilfe einer Lyapunov Funktion. Dies wird mit zunehmender Anzahl Zuständer schnell sehr aufwändig und schwierig.

Das Input-Output-linearisierte System kann dann mit linearer Regelungstechnik geregelt werden (z.B. Ziegler-Nichols).

Gruss, Georg

NoVa

Gast


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Verfasst am: 29.06.2011, 07:10 Titel:

Georg J hat Folgendes geschrieben:

Ich sehe gerade, dass das Thema schon seit langem läuft, aber ich gebe trotzdem noch meinen Senf dazu Very Happy

Hi Georg!

Wie ich sehe, kennst du dich etwas besser aus auf diesem Gebiet. Könntest du mir vielleicht gute Unterlagen zu nicht-linearen Systemen (Linearisierung, Regelung) empfehlen? Vielleicht hast ja auch Zeit um mir direkt weiterzuhelfen?!

LG NoVa

Georg J

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Verfasst am: 29.06.2011, 10:43 Titel:

Hallo NoVa,

Ich verwende das Buch von Sastry
http://www.amazon.de/Nonlinear-Syst.....qid=1309339226&sr=8-2

Es ist umfangreich, aber ziemlich mathematisch geschrieben. Das oben angegebene PDF der TU Dortmund finde ich ziemlich gut, so als Übersicht.

Das Buch Nonlinear systems von Hassan K. Khalil soll etwas anwenderfreundlicher sein, aber ich habe es selbst nicht.
http://cgi.ebay.de/Nonlinear-System.....n&hash=item415acdbd54

Wenn du konkrete Fragen hast, kannst du sie gerne stellen.

Gruss, Georg

NoVa

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Verfasst am: 29.06.2011, 20:19 Titel:

Hi Georg!

Danke für den Buchtipp. Ich werds mir mal ansehen.

Um etwas konkreter zu werden, handelt es sich bei meinem Problem um eine nicht-lineare funktion, welche ich in meiner state equation habe.

Dynamic State Equation

$\begin{vmatrix} \frac{dx_1}{dt} \\ \frac{dx_2}{dt} \\ \frac{dx_3}{dt} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -a_1.x_1 & k.a_2.x_2 & 0 \\ a_2.x_1 & -k.a_2.x_2 & a_2.x_3 \\ 0 & 0 & -a_1.x_3 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 \\ 0 \\ b_3 \end{vmatrix}u + \begin{vmatrix} d_1 \\ -d_1 \\ 0 \end{vmatrix}$

Dabei sind 'k' und 'd' Koeffizienten, wenn ich als Linearisierung "kleine Geraden" verwenden würde. Der Verlauf der Funktion/Kurve ist bekannt und liegt als LUT (Look-up table) vor. Nun müsste ich ja für jeden Fall, 'k' und 'd' bestimmen.

Ich weiß leider nicht wie ich einen Observer für dieses System entwerfen kann.
Vielleicht seh ich auch den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr - oder ich bin am Holzweg Smile

Würde mich über Unterstützung freuen.

LG NoVa
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mfG
NoVa

Georg J

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Verfasst am: 29.06.2011, 23:22 Titel:

Das heisst also, dass k und d von den Zuständen x1, x2 und x3 abhängen? Wie sehen denn die Funktionen für k und d aus? Die Komplexität hat grossen Einfluss auf den Schwierigkeitsgrad des Systems. Wenn es zu kompliziert ist, ist ein Look-up table sicher eine praktische Lösung.

NoVa

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Verfasst am: 30.06.2011, 00:08 Titel:

Richtig, 'k' und 'd' sind von den States abhängig. Je nachdem, welches Inputsignal (Pegel) anliegt, ergibt sich eine neue Position auf der Kurve, welche ich durch 'k' und 'd' linearisieren möchte.

Was meinst du mit "Funktion für 'k' und 'd' ?
Ich habe eine Kurve, welche ich in einem bestimmten Punkt durch eine Gerade ersetzen will. Dazu würde ich die Geradengleichung k.x+d verwenden.

Falls du genaueres an Informationen benötigst, würde ich dir das zukommen lassen.

LG & Danke für dein Engagement!
_________________

mfG
NoVa

Georg J

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Verfasst am: 30.06.2011, 11:26 Titel:

Ich weiss nicht, ob deine Methode funktioniert. Was du vor hast ist eine Linearisierung deiner Look-Up table. Wenn du sowieso schon einen Look-Up table verwendest, dann kannst du auch direkt die ganze Funktion einsetzen, es sei denn die Linearisierung spart dir wichtige Rechenzeit.

Nichtlineare Regelungstechnik versucht alle wichtigen Nicht-Linearitäten einzubeziehen und auszugleichen (also nicht zu linearisieren im Sinne einer Geraden). Mit Input-Output-Linearisation ist gemeint, dass alle Nichtlinearitäten so ausgeglichen werden, dass der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgang schlussendlich durch einen linearen Zusammenhang beschrieben werden kann, indem man den Eingang geschickt wählt.

In deinem Fall müsstest du also das gesamte state space Modell anschauen, ohne irgendwelche k und d, sondern alles reinschreiben. Du sagtest, dass du den Zusamenhang zwischen k, d und x1 x2 x3 kennst, also muss eine Funktion der Zustände sein k(x1,x2,x3) und d(x1,x2,x3) auch. Das kannst du ja einsetzen.

Gruss.

NoVa

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Verfasst am: 01.07.2011, 11:37 Titel:

Mal kurz ne (triviale?) Frage: Da ich mein System nur beobachten möchte, muss ich es eig. nicht stabilisieren, oder? In der Realität werde ich das System auch nicht beeinfussen. Es geht nur um die Ermittlung interner Parameter.

LG
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mfG
NoVa

Georg J

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Verfasst am: 01.07.2011, 12:48 Titel:

Korrekt. Wenn du das System nur beobachten willst und damit also nicht regelst, kannst du es auch gar nicht stabilisieren...

Du könntest aber prüfen, ob das System auch ohne Regelung stabil ist. Ein ungeregeltes System ist nicht zwingend instabil...

NoVa

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Verfasst am: 01.07.2011, 13:33 Titel:

Ich habs auf Stabilität überprüft und gesehen, dass ich Pole in der pos. s-plane habe. Das beunruhigt mich ja eig. nicht Smile

Wie gesagt, ich wills ja nur beobachten.

Das Problem, welches ich habe ist immer noch der Entwurf des Observers.
In der ersten und zweiten state equation (dx1/dt & dx2/dt) habe ich eine variable, welche von x2 abhängt -> f(x2)
Dieser Zusammehang ist nicht-linear. Zwar liegen mir die Werte (x & y) in der LUT vor, ich weiß aber leider nicht wie ich dies für den Observer verwenden kann.
_________________

mfG
NoVa

Georg J

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Verfasst am: 07.07.2011, 21:45 Titel:

Hi Nova,

Hast du schon eine Lösung?
Ich hab mir dein Problem nochmal kurz durch den Kopf gehen lassen. Ich habe zwar bisher noch keinen Observer für ein Nichtlineares System entworfen, aber ich hätte zumindest eine Idee.

k und d sind f(x1,x2,x3) und bekannt. Kannst du das dann nicht in deine DG einsetzen (also deine "Linearisierung" entfernen, k und d eliminieren und die nichtlineare DG verwenden) und state-feedback-Linearisierung anwenden? Wenn das klappt, könntest du evtl. einen linearen Observer für das state-feedback-linearisierte system entwerfen.

Gruss, Georg

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